L'inégalité de Bohr pour les séries de Dirichlet

Balasubramanian, Ramachandran; Calado, Bruno; Queffélec, Hervé

doi:10.1016/j.crma.2005.10.014

Analyse mathématique

L'inégalité de Bohr pour les séries de Dirichlet

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Balasubramanian, Ramachandran ¹ ; Calado, Bruno ² ; Queffélec, Hervé ³

¹ The Institute of Mathematical Sciences, Chennai 600 113, Inde
² Université Paris-Sud XI, centre d'Orsay, laboratoire de mathématiques, bâtiment 425, 91405 Orsay, France
³ UFR de mathématiques, université de Lille 1, 59655 Villeneuve d'Ascq cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 342 (2006) no. 1, pp. 7-10.

Résumé
Abstract

Nous étendons au cas des séries de Dirichlet des résultats de H. Bohr pour les séries de Taylor en une variable, eux-mêmes généralisés par Paulsen, Popescu et Singh, ou étendus au cas de plusieurs variables par Aizenberg, Boas et Khavinson. Nous montrons notamment que, si $f (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} n^{- s}$ , avec $‖ f ‖_{\infty} : = \sup_{R s > 0} | f (s) | < \infty$ , alors $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | n^{−2} ⩽ ‖ f ‖_{\infty}$ et même légèrement mieux, et $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | n^{- 1 / 2} ⩽ C ‖ f ‖_{\infty}$ , C étant une constante absolue.

We extend to the setting of Dirichlet series previous results of Bohr for Taylor series in one variable, themselves generalized by Paulsen, Popescu and Singh or extended to several variables by Aizenberg, Boas and Khavinson. We show in particular that, if $f (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} n^{- s}$ , with $‖ f ‖_{\infty} : = \sup_{R s > 0} | f (s) | < \infty$ , then $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | n^{−2} ⩽ ‖ f ‖_{\infty}$ and even slightly better, and $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | n^{- 1 / 2} ⩽ C ‖ f ‖_{\infty}$ , C being an absolute constant.

Reçu le : 2005-09-19
Accepté le : 2005-10-11
Publié le : 2005-11-17

DOI : 10.1016/j.crma.2005.10.014

Affiliations des auteurs :

Balasubramanian, Ramachandran ¹ ; Calado, Bruno ² ; Queffélec, Hervé ³

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Balasubramanian, Ramachandran; Calado, Bruno; Queffélec, Hervé. L'inégalité de Bohr pour les séries de Dirichlet. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 342 (2006) no. 1, pp. 7-10. doi : 10.1016/j.crma.2005.10.014. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.10.014/

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