Démonstration de la conjecture de Dumont

Lass, Bodo

doi:10.1016/j.crma.2005.10.018

Théorie des nombres/Combinatoire

Démonstration de la conjecture de Dumont

Présenté par : Étienne Ghys

Lass, Bodo ¹

¹ Institut Camille Jordan, UMR 5208 du CNRS, Université Claude Bernard Lyon 1, 43, boulevard du 11 novembre 1918, 69622 Villeurbanne cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 341 (2005) no. 12, pp. 713-718.

Résumé
Abstract

Soit

r_{k}^{1 (2)} (n) : = | {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}) \in N^{k} | n = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{k}^{2}, x_{i} \equiv 1 (\mod 2), 1 ⩽ i ⩽ k} |,

c_{k}^{1 (4)} (n) : = | {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}) \in N^{k} | n = x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + \dots + x_{k - 1} x_{k} + x_{k} x_{1}, x_{i} \equiv 1 (4)} |,

c_{k}^{3 (4)} (n) : = | {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}) \in N^{k} | n = x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + \dots + x_{k - 1} x_{k} + x_{k} x_{1}, x_{i} \equiv 3 (4)} | .

Dumont a conjecturé l'identité

r_{k}^{1 (2)} (n) = c_{k}^{1 (4)} (n) - {(- 1)}^{k} c_{k}^{3 (4)} (n)

qui généralise, notamment, les résultats classiques de Lagrange, Gauß, Jacobi et Kronecker sur les décompositions de tout entier en deux, trois et quatre carrés. Nous donnons une preuve combinatoire de la conjecture de Dumont.

Let

r_{k}^{1 (2)} (n) : = | {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}) \in N^{k} | n = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{k}^{2}, x_{i} \equiv 1 (\mod 2), 1 ⩽ i ⩽ k} |,

c_{k}^{1 (4)} (n) : = | {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}) \in N^{k} | n = x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + \dots + x_{k - 1} x_{k} + x_{k} x_{1}, x_{i} \equiv 1 (4)} |,

c_{k}^{3 (4)} (n) : = | {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}) \in N^{k} | n = x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + \dots + x_{k - 1} x_{k} + x_{k} x_{1}, x_{i} \equiv 3 (4)} | .

Dumont has conjectured the identity

r_{k}^{1 (2)} (n) = c_{k}^{1 (4)} (n) - {(- 1)}^{k} c_{k}^{3 (4)} (n)

, which generalizes, in particular, the classical results of Lagrange, Gauß, Jacobi and Kronecker on the sums of two, three and four squares. We give a combinatorial proof of Dumont's conjecture.

Reçu le : 2005-07-11
Accepté le : 2005-10-11
Publié le : 2005-11-14

DOI : 10.1016/j.crma.2005.10.018

Affiliations des auteurs :

Lass, Bodo ¹

¹ Institut Camille Jordan, UMR 5208 du CNRS, Université Claude Bernard Lyon 1, 43, boulevard du 11 novembre 1918, 69622 Villeurbanne cedex, France

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Lass, Bodo. Démonstration de la conjecture de Dumont. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 341 (2005) no. 12, pp. 713-718. doi : 10.1016/j.crma.2005.10.018. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.10.018/

Bibliographie
Cité par

[1] Andrews, G. The Theory of Partitions, Teoriya razbienii, Cambridge University Press, 1998 (en russe)

[2] D. Dumont, A conjecture on sums of any number of odd squares, Prépublication

[3] Weil, A. Sur les sommes de trois et quatre carrés, Enseign. Math. II. Sér., Volume 20 (1974), pp. 215-222

Cité par Sources :