Soit X une variété projective irréductible de dimension n, et le faisceau de Barlet des q-formes régulières sur X. Soit des hypersurfaces principales sur X, dont les diviseurs associés sont amples, et s'intersectant proprement. Pour , le groupe de cohomologie peut se calculer comme la cohomologie de degré p d'un complexe de courants localement résiduels. On en déduit que tout élément de admet comme représentant dans la classe de cohomologie de Dolbeault des courant -fermés de bidegré un courant localement résiduel à support dans . Pour , on obtient un autre théorème en se restreignant aux courants localement résiduels obtenus à partir de formes méromorphes à pôles logarithmiques sur les ; ce dernier théorème est une variante d'un Théorème 3.1 de Khesin et al. (2004), donnant un calcul de par la cohomologie d'un complexe de « chaines polaires ».
Let X be an irreductible projective variety of dimension n, and be the Barlet's sheaf of regular q-forms on X. Let be n principal hypersurfaces on X, defining ample line bundles, and intersecting properly. We show in this note that the Dolbeault cohomology group () can be computed as the p-th cohomology group of some complex of locally residual currents on X; we deduce that any element of admits as representant in the Dolbeault cohomology class of -closed currents of bidegree a locally residual current with support in . For , we get another theorem by restricting to locally residual currents obtained from meromorphic n-forms with logarithmic poles on the : this second version is a variant of a Theorem 3.1 of Khesin et al. (2004), giving a representation of as the cohomology of a complex of ‘polar chains’.
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Fabre, Bruno. Courants localement résiduels et cohomologie de Dolbeault des variétés projectives. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 345 (2007) no. 4, pp. 219-224. doi : 10.1016/j.crma.2007.06.013. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.06.013/
[1] On the global liftings of meromorphic forms, Manuscripta Math., Volume 47 (1984), pp. 31-54
[2] Canonical representatives in moderate cohomology, Invent. Math, Volume 80 (1985), pp. 417-434
[3] Variations on a theorem of Abel, Invent. Math., Volume 35 (1976), pp. 321-390
[4] A polar De Rham theorem, Topology, Volume 43 (2004), pp. 1231-1246
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