Le critère de positivité de Li pour la classe de Selberg

Omar, Sami; Mazhouda, Kamel

doi:10.1016/j.crma.2007.07.008

Théorie des nombres

Le critère de positivité de Li pour la classe de Selberg
[The Li positivity criterion for the Selberg class]

Presented by: Jean-Pierre Serre

Omar, Sami ¹; Mazhouda, Kamel ²

¹ Faculté des sciences de Tunis, département de mathématiques, 2092 campus universitaire El Manar, Tunis 2092, Tunisie
² Faculté des sciences de Monastir, département de mathématiques, Monastir 5000, Tunisie

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 5, pp. 245-248.

Abstract
Résumé

Let us consider the xi-function $ξ (s) = s (s - 1) Γ (s / 2) π^{- s / 2} ζ (s)$ and the Li coefficients ${(λ_{n})}_{n ⩾ 1}$ defined by

λ_{n} = \frac{1}{(n - 1)!} \frac{d^{n}}{d s^{n}} [s^{n - 1} \log ξ (s)]_{s = 1} .

Then, the Li criterion says that the Riemann Hypothesis holds if and only if the coefficients

(λ_{n})

are positive numbers.

In this Note, we generalise the Li criterion for a function F in the Selberg class. Then, we obtain an explicit formula for the Li coefficients associated to F.

Considérons la fonction zêta de Riemann complétée $ξ (s) = s (s - 1) Γ (s / 2) π^{- s / 2} ζ (s)$ et les coefficients de Li associés ${(λ_{n})}_{n ⩾ 1}$ définis par

λ_{n} = \frac{1}{(n - 1)!} \frac{d^{n}}{d s^{n}} [s^{n - 1} \log ξ (s)]_{s = 1} .

Le critère de Li dit que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si les nombres

λ_{n}

sont tous positifs.

Dans cette Note, on généralise le critère de Li à une fonction F de la classe de Selberg, et on obtient une formule explicite pour les coefficients de Li associés à F.

Received: 2006-06-17
Accepted: 2007-07-17
Published online: 2007-08-21

DOI: 10.1016/j.crma.2007.07.008

Author's affiliations:

Omar, Sami ¹; Mazhouda, Kamel ²

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Omar, Sami; Mazhouda, Kamel. Le critère de positivité de Li pour la classe de Selberg. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 5, pp. 245-248. doi : 10.1016/j.crma.2007.07.008. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.07.008/

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