Means of algebraic numbers in the unit disk

Pritsker, Igor E.

doi:10.1016/j.crma.2009.01.002

Number Theory

Means of algebraic numbers in the unit disk
[Moyennes de nombres algébriques dans le disque unité]

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Pritsker, Igor E.¹

¹ Department of Mathematics, Oklahoma State University, Stillwater, OK 74078, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 3-4, pp. 119-122.

Résumé
Abstract

Schur a étudié les limites des moyennes arithmétiques $s_{n}$ des zéros pour les polynômes à coefficients entiers de degré n ayant des zéros simples dans le disque unité fermé. Lorsque les coefficients dominants restent bornés, Schur a démontré que ${lim sup}_{n \to \infty} | s_{n} | ⩽ 1 - \sqrt{e} / 2$ . Nous prouvons que $s_{n} \to 0$ . Nous donnons une estimation du taux de convergence, grâce à une généralisation d'un théorème de Erdős–Turán sur la distribution des zéros.

Schur studied limits of the arithmetic means $s_{n}$ of zeros for polynomials of degree n with integer coefficients and simple zeros in the closed unit disk. If the leading coefficients are bounded, Schur proved that ${lim sup}_{n \to \infty} | s_{n} | ⩽ 1 - \sqrt{e} / 2$ . We show that $s_{n} \to 0$ , and estimate the rate of convergence by generalizing the Erdős–Turán theorem on the distribution of zeros.

Reçu le : 2008-11-19
Accepté le : 2009-01-09
Publié le : 2009-02-01

DOI : 10.1016/j.crma.2009.01.002

Affiliations des auteurs :

Pritsker, Igor E. ¹

¹ Department of Mathematics, Oklahoma State University, Stillwater, OK 74078, USA

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Pritsker, Igor E. Means of algebraic numbers in the unit disk. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 3-4, pp. 119-122. doi : 10.1016/j.crma.2009.01.002. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.01.002/

Bibliographie
Cité par

[1] Andrievskii, V.V.; Blatt, H.-P. Discrepancy of Signed Measures and Polynomial Approximation, Springer-Verlag, New York, 2002

[2] Bilu, Y. Limit distribution of small points on algebraic tori, Duke Math. J., Volume 89 (1997), pp. 465-476

[3] Borwein, P. Computational Excursions in Analysis and Number Theory, Springer-Verlag, New York, 2002

[4] Erdős, P.; Turán, P. On the distribution of roots of polynomials, Ann. Math., Volume 51 (1950), pp. 105-119

[5] Favre, C.; Rivera-Letelier, J. Equidistribution quantitative des points de petite hauteur sur la droite projective, Math. Ann., Volume 335 (2006), pp. 311-361 (Corrigendum in Math. Ann., 339, 2007, pp. 799-801)

[6] Kronecker, L. Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Coëfficienten, J. Reine Angew. Math., Volume 53 (1857), pp. 173-175

[7] Landkof, N.S. Foundations of Modern Potential Theory, Springer-Verlag, New York, 1972

[8] Saff, E.B.; Totik, V. Logarithmic Potentials with External Fields, Springer-Verlag, Berlin, 1997

[9] Schur, I. Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten, Math. Z., Volume 1 (1918), pp. 377-402

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