Nous présentons dans cette Note une formule pour la hauteur d'une variété torique complète définie sur un corps de nombres. L'expression exacte repose sur des outils d'analyse convexe et en particulier, sur le dual de Legendre–Fenchel du logarithme des normes locales d'une section naturelle du fibré en droites métrisé correspondant. Nous appliquons cette formule au calcul de la hauteur des courbes toriques projectives et des fibrés toriques.
We announce a formula for the height of a complete toric variety defined over a number field. The exact expression rests on tools from convex analysis and in particular, on the Legendre–Fenchel dual of the logarithm of the local norms of a natural section of the relevant metrized line bundle. We apply this formula to the computation of the height of projective toric curves and of toric bundles.
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Burgos Gil, José Ignacio; Philippon, Patrice; Sombra, Martín. Hauteur des sous-schémas toriques et dualité de Legendre–Fenchel. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 11-12, pp. 589-594. doi : 10.1016/j.crma.2009.04.002. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.04.002/
[1] Green currents and analytic continuation, J. Anal. Math., Volume 75 (1998), pp. 1-50
[2] Heights of projective varieties and positive Green forms, J. Amer. Math. Soc., Volume 7 (1994), pp. 903-1027
[3] J.I. Burgos Gil, P. Philippon, M. Sombra, The height of a toric variety, tapuscrit, 2008
[4] Hauteur des hypersurfaces et fonctions zêta d'Igusa, J. Number Theory, Volume 83 (2000), pp. 226-255
[5] La hauteur des quadriques, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math., Volume 324 (1997), pp. 1323-1326
[6] Introduction to Toric Varieties, Ann. Math. Studies, vol. 131, Princeton Univ. Press, 1993
[7] V. Maillot, Géométrie d'Arakelov des variétés toriques et fibrés en droites intégrables, Mém. Soc. Math. France, vol. 80, 2000
[8] Analytic torsion of Hirzebruch surfaces, Math. Ann., Volume 335 (2006), pp. 221-247
[9] Hauteur normalisée des variétés toriques projectives, J. Inst. Math. Jussieu, Volume 7 (2008), pp. 327-373
[10] Convex Analysis, Princeton Univ. Press, 1970
[11] Small points and adelic metrics, J. Algebraic Geom., Volume 4 (1995), pp. 281-300
Cité par Sources :
