Dans ce papier, on introduit les carreaux tensoriels (quadrilatéraux) réduits dits de « Bézier–Serendip ». Après un rappel sur les carreaux standards de Bézier, on propose une méthode de construction de ces carreaux réduits. Les polynômes de Bernstein correspondants s'écrivent comme combinaisons linéaires des polynômes de Bernstein classiques. On explicite les carreaux de degrés 2, 3, 4 et 5. On indique que, dès le degré 5, la disposition des points de contrôle internes n'est plus symétrique et que, pour pallier ce problème, on propose d'enrichir ces points de contrôle résultant en des carreaux de Bézier–Serendip étendus. Ces carreaux représentent, dans le formalisme de Bézier, ce que sont les éléments finis de Lagrange de sérendipité.
We introduce reduced quadrilateral patches, the so called “Bézier–Serendip” patches. After some reminders about standard Bézier patches, we propose a method for constructing those reduced patches. The corresponding Bernstein polynomials are written by means of linear combinations of the standard Bernstein polynomials. We give a full description of the patches of degrees 2, 3, 4 and 5. Since degree 5, the location of the control points is no longer symmetric and to remedy this problem, we propose adding a number of control points, which results in extended Bézier–Serendip patches. Those reduced patches are in the Bézier framework what the Serendipity elements are in the finite-element framework.
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TY - JOUR AU - George, Paul Louis AU - Borouchaki, Houman TI - Carreaux de Bézier–Serendip JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2015 SP - 179 EP - 184 VL - 353 IS - 2 PB - Elsevier UR - http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2014.11.017/ DO - 10.1016/j.crma.2014.11.017 LA - fr ID - CRMATH_2015__353_2_179_0 ER -
George, Paul Louis; Borouchaki, Houman. Carreaux de Bézier–Serendip. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 2, pp. 179-184. doi : 10.1016/j.crma.2014.11.017. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2014.11.017/
[1] The serendipity family of finite elements, Found. Comput. Math., Volume 11 (2011), pp. 337-344
[2] Enhancement of Gordon–Coons interpolations by “bubble functions”, Comput. Aided Geom. Des., Volume 10 (1993), pp. 253-265
[3] Discrétisation variationnelles de problèmes aux limites elliptiques, Mathématiques et Applications, vol. 45, Springer, 2004
[4] Courbes et surfaces, mathématiques et CAO, vol. 4, Hermès, Paris, 1986
[5] Discrete Coons patches, Comput. Aided Geom. Des., Volume 16 (1999), pp. 691-700
[6] M.S. Floater, A. Gillette, Nodal bases for the serendipity family of finite elements, personal communication, 2014.
[7] Validité des éléments finis de Lagrange de degré 1 et 2, RR INRIA, Volume 8376 (2013)
[8] Construction et validation des éléments réduits associés à un carreau simplicial de degré arbitraire, RR INRIA, Volume 8571 (2014)
[9] Construction et validation des éléments Serendip associés à un carreau de degré arbitraire, RR INRIA, Volume 8572 (2014)
[10] Approximation par éléments finis des problèmes elliptiques, Éditions de l'ENSTA, Paris, 2006
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