Sur l'existence locale pour une équation de scalaires actifs

Hu, Weiwei; Kukavica, Igor; Ziane, Mohammed

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 3, pp. 241-245.

Dans cette Note, nous étudions l'existence locale des solutions pour l'équation du scalaire actif ${\partial }_t\theta +u\cdot \mathrm{\nabla }\theta =0$ où $u=-{\mathrm{\nabla }}^{\perp }{(-\mathrm{\Delta })}^{-1+\beta /2}\theta$. Cette équation correspond à l'équation d'Euler quand $\beta =0$ et à l'équation quasi-géostrophique quand $\beta =1$. Nous montrons l' existence locale dans l'espace $H^{1+\beta +ϵ}$, où $ϵ>0$, pour $1<\beta <2$. Un résultat récent de Chae, Constantin, Córdoba, Gancedo et Wu montre l'existence locale dans $H^4$. L'amélioration est due à des nouvelles estimations plus précises du commutateur, et l'exposant fractionnaire est obtenu par un traitement different de la non-linéarité en utilisant une inégalité double du commutateur.

We address the local well-posedness for the active scalar equation ${\partial }_t\theta +u\cdot \mathrm{\nabla }\theta =0$ where $u=-{\mathrm{\nabla }}^{\perp }{(-\mathrm{\Delta })}^{-1+\beta /2}\theta$. This equation reduces to the Euler equation if $\beta =0$ and to the quasi-geostrophic equation for $\beta =1$. In this note, we prove the local existence for the equation in the space $H^{1+\beta +ϵ}$, where $ϵ>0$, for $1<\beta <2$. An earlier result by Chae, Constantin, Córdoba, Gancedo, and Wu shows the local existence in $H^4$. The improvement is due to a sharper commutator estimate, while the fractional exponent is obtained through a different treatment of the nonlinearity using a double commutator inequality.

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