Sur l'existence locale pour une équation de scalaires actifs

Hu, Weiwei; Kukavica, Igor; Ziane, Mohammed

doi:10.1016/j.crma.2014.12.008

Équations aux dérivées partielles/Problèmes mathématiques de la mécanique

Sur l'existence locale pour une équation de scalaires actifs

Présenté par : le comité de rédaction

Hu, Weiwei ¹ ; Kukavica, Igor ¹ ; Ziane, Mohammed ¹

¹ Department of Mathematics, University of Southern California, Los Angeles, CA, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 3, pp. 241-245.

Résumé
Abstract

Dans cette Note, nous étudions l'existence locale des solutions pour l'équation du scalaire actif $\partial_{t} θ + u \cdot \nabla θ = 0$ où $u = - \nabla^{⊥} {(- Δ)}^{- 1 + β / 2} θ$ . Cette équation correspond à l'équation d'Euler quand $β = 0$ et à l'équation quasi-géostrophique quand $β = 1$ . Nous montrons l' existence locale dans l'espace $H^{1 + β + ϵ}$ , où $ϵ > 0$ , pour $1 < β < 2$ . Un résultat récent de Chae, Constantin, Córdoba, Gancedo et Wu montre l'existence locale dans $H^{4}$ . L'amélioration est due à des nouvelles estimations plus précises du commutateur, et l'exposant fractionnaire est obtenu par un traitement different de la non-linéarité en utilisant une inégalité double du commutateur.

We address the local well-posedness for the active scalar equation $\partial_{t} θ + u \cdot \nabla θ = 0$ where $u = - \nabla^{⊥} {(- Δ)}^{- 1 + β / 2} θ$ . This equation reduces to the Euler equation if $β = 0$ and to the quasi-geostrophic equation for $β = 1$ . In this note, we prove the local existence for the equation in the space $H^{1 + β + ϵ}$ , where $ϵ > 0$ , for $1 < β < 2$ . An earlier result by Chae, Constantin, Córdoba, Gancedo, and Wu shows the local existence in $H^{4}$ . The improvement is due to a sharper commutator estimate, while the fractional exponent is obtained through a different treatment of the nonlinearity using a double commutator inequality.

Reçu le : 2014-04-02
Accepté le : 2014-12-19
Publié le : 2015-01-28

DOI : 10.1016/j.crma.2014.12.008

Affiliations des auteurs :

Hu, Weiwei ¹ ; Kukavica, Igor ¹ ; Ziane, Mohammed ¹

¹ Department of Mathematics, University of Southern California, Los Angeles, CA, USA

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Hu, Weiwei; Kukavica, Igor; Ziane, Mohammed. Sur l'existence locale pour une équation de scalaires actifs. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 3, pp. 241-245. doi : 10.1016/j.crma.2014.12.008. https://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2014.12.008/

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