Measure boundary value problems for semilinear elliptic equations with critical Hardy potentials

Gkikas, Konstantinos T.; Véron, Laurent

doi:10.1016/j.crma.2015.01.011

Partial differential equations/Harmonic analysis

Measure boundary value problems for semilinear elliptic equations with critical Hardy potentials
[Problèmes aux limites avec données mesures pour des équations semi-linéaires elliptiques avec des potentiels de Hardy critiques]

Présenté par : Haïm Brézis

Gkikas, Konstantinos T.¹ ; Véron, Laurent ²

¹ Centro de Modelamiento Matemàtico, Universidad de Chile, Santiago de Chile, Chile
² Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique, CNRS UMR 7350, Faculté des Sciences, 37200 Tours, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 4, pp. 315-320.

Résumé
Abstract

Soient $Ω \subset R^{N}$ un domaine de classe $C^{2}$ et $L_{κ} = - Δ - \frac{κ}{d^{2}}$ où $d = dist (., \partial Ω)$ et $0 < κ \leq \frac{1}{4}$ . Soient $α_{\pm} = 1 \pm \sqrt{1 - 4 κ} y, λ_{κ}$ la première valeur propre de $L_{κ}$ et $ϕ_{κ}$ la fonction propre positive correspondante. Si g est une fonction continue croissante vérifiant $\int_{1}^{\infty} (g (s) + | g (- s) |) s^{- 2 \frac{2 N - 2 + α_{+}}{2 N - 4 + α_{+}}} d s < \infty$ , alors pour toutes mesures de Radon $ν \in M_{ϕ_{κ}} (Ω)$ et $μ \in M (\partial Ω)$ , il existe une unique solution faible au problème $P_{ν, μ}$ : $L_{κ} u + g (u) = ν$ dans Ω, $u = μ$ sur ∂Ω. Si $g (r) = {| r |}^{q - 1} u$ ( $q > 1$ ), nous démontrons qu'une condition nécessaire et suffisante pour résoudre $P_{0, μ}$ avec $μ > 0$ est que μ soit absolument continue par rapport à la capacité associée à l'espace $B^{2 - \frac{2 + α_{+}}{2 q^{'}}, q^{'}} (R^{N - 1})$ . Cette capacité caractérise les ensembles éliminables du bord. Dans le cas sous-critique, nous classifions les singularités isolées au bord des solutions positives.

Let $Ω \subset R^{N}$ be a bounded $C^{2}$ domain and $L_{κ} = - Δ - \frac{κ}{d^{2}}$ where $d = dist (., \partial Ω)$ and $0 < κ \leq \frac{1}{4}$ . Let $α_{\pm} = 1 \pm \sqrt{1 - 4 κ}$ , $λ_{κ}$ the first eigenvalue of $L_{κ}$ with corresponding positive eigenfunction $ϕ_{κ}$ . If g is a continuous nondecreasing function satisfying $\int_{1}^{\infty} (g (s) + | g (- s) |) s^{- 2 \frac{2 N - 2 + α_{+}}{2 N - 4 + α_{+}}} d s < \infty$ , then for any Radon measures $ν \in M_{ϕ_{κ}} (Ω)$ and $μ \in M (\partial Ω)$ there exists a unique weak solution to problem $P_{ν, μ}$ : $L_{κ} u + g (u) = ν$ in Ω, $u = μ$ on ∂Ω. If $g (r) = {| r |}^{q - 1} u$ ( $q > 1$ ), we prove that, in the supercritical range of q, a necessary and sufficient condition for solving $P_{0, μ}$ with $μ > 0$ is that μ is absolutely continuous with respect to the capacity associated with the space $B^{2 - \frac{2 + α_{+}}{2 q^{'}}, q^{'}} (R^{N - 1})$ . We also characterize the boundary removable sets in terms of this capacity. In the subcritical range of q we classify the isolated singularities of positive solutions.

Reçu le : 2014-10-16
Accepté le : 2015-01-26
Publié le : 2015-02-26

DOI : 10.1016/j.crma.2015.01.011

Affiliations des auteurs :

Gkikas, Konstantinos T. ¹ ; Véron, Laurent ²

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Gkikas, Konstantinos T.; Véron, Laurent. Measure boundary value problems for semilinear elliptic equations with critical Hardy potentials. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 4, pp. 315-320. doi : 10.1016/j.crma.2015.01.011. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.01.011/

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