[Sur l'étude de problèmes de Stokes non linéaires avec une viscosité qui dépend de la distance à la paroi]
En mécanique des fluides, la décomposition de Reynolds appliquée aux équations de Navier–Stokes suppose que la période des solutions moyennées est bien plus grande que les fluctuations turbulentes locales. Un modèle de longueur de mélange populaire chez les ingénieurs est appelé « modèle de Smagorinsky ». Dans cette courte note, nous présentons quelques résultats théoriques et numériques sur un modèle de longueur de mélange dont la viscosité turbulente dépend à la fois du tenseur des déformations et de la distance à la paroi la plus proche. En particulier, nous montrons que le modèle dit de von Karman devient mal posé lorsque la viscosité laminaire tend vers zéro.
In fluid mechanics, the RANS modeling (Reynolds Averaged Navier–Stokes equation) assumes that the period of the averaged solutions to the Navier–Stokes equations is several orders of magnitude larger than the turbulent fluctuations. A type of simple model often used by engineers is a mixing-length model called “Smagorinsky modeling”. In this paper, we present some theoretical and numerical results on a mixing-length model in which the eddy viscosity is depending on the strain tensor and on the distance to the wall of the fluid flow domain. In particular, we show that the so-called von Karman model becomes an ill-posed problem when the laminar viscosity tends to zero.
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Rappaz, Jacques; Rochat, Jonathan. On non-linear Stokes problems with viscosity depending on the distance to the wall. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 5, pp. 499-502. doi : 10.1016/j.crma.2016.01.022. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2016.01.022/
[1] Analyse numérique des écoulements quasi-Newtoniens dont la viscosité obéit à la loi de puissance ou la loi de Carreau, Numer. Math., Volume 58 (1990), pp. 35-49
[2] Direct Methods in the Calculus of Variations, Springer, 2008
[3] Quasilinear Elliptic Equations with Degenerations and Singularities, Walter de Gruyer, 1997
[4] Continuous and compact imbeddings of weighted Sobolev spaces, Czechoslov. Math. J., Volume 39 (1989) no. 1, pp. 78-94
[5] Coercive inequalities on weighted Sobolev spaces, Colloq. Math., Volume LXVI (1993) no. Fasc. 2
[6] Weighted Sobolev Spaces, John Wiley, 1985
[7] On some weighted Stokes problems. Applications on Smagorinsky models, March 2016 https://infoscience.epfl.ch/record/217038 (Preprint)
[8] Homogeneous Turbulence Dynamics, Cambridge University Press, 2008
Cité par Sources :
☆ Project supported by Rio-Tinto Alcan Company, with grant number CW2088943.
