On the ordinariness of coverings of stable curves

Yang, Yu

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 356 (2018) no. 1, pp. 17-26.

Dans la présente Note, nous étudions l'ordinarité des revêtements de courbes stables. Soit f:Y→X un morphisme de courbes stables sur un anneau de valuation discrète R, dont le corps résiduel est algébriquement clos, de caractéristique p>0. Notons S pour Spec(R) et η (resp. s) le point générique (resp. le point fermé) de S. Supposons que la fibre générique Xη de X est lisse au-dessus de η, que le morphisme fη:Yη→Xη des fibres génériques induit par f au-dessus de η soit un revêtement étale galoisien (et donc Yη est aussi lisse au-dessus de η), dont le groupe de Galois G est résoluble, que le genre des normalisations des composantes irréductibles de la fibre spéciale Xs soit au moins 2 et que Ys soit ordinaire. Alors, le morphisme fs:Ys→Xs induit par f au-dessus de s est un revêtement admissible. Ce résultat étend un énoncé de M. Raynaud sur l'ordinarité des revêtements lorsque Xs est une courbe stable. Si, de plus, on suppose que G est un p-groupe et que le p-rang de la normalisation de chaque composante irréductible de Xs est au moins 2, nous pouvons donner un critère numérique pour l'admissibilité de fs.

In the present paper, we study the ordinariness of coverings of stable curves. Let f:Y→X be a morphism of stable curves over a discrete valuation ring R with algebraically closed residue field of characteristic p>0. Write S for Spec R and η (resp. s) for the generic point (resp. closed point) of S. Suppose that the generic fiber Xη of X is smooth over η, that the morphism fη:Yη→Xη over η on the generic fiber induced by f is a Galois étale covering (hence Yη is smooth over η too) whose Galois group is a solvable group G, that the genus of the normalization of each irreducible component of the special fiber Xs is ≥2, and that Ys is ordinary. Then we have that the morphism fs:Ys→Xs over s induced by f is an admissible covering. This result extends a result of M. Raynaud concerning the ordinariness of coverings to the case where Xs is a stable curve. If, moreover, we suppose that G is a p-group, and that the p-rank of the normalization of each irreducible component of Xs is ≥2, we can give a numerical criterion for the admissibility of fs.

[1] Bouw, I. The p-rank of curves and covers of curves, Luminy, 1998 (Progress in Mathematics), Volume vol. 187, Birkhäuser, Basel, Switzerland (2000), pp. 267-277

[2] Crew, R. Étale p-covers in characteristic p, Compos. Math., Volume 52 (1984), pp. 31-45

[3] Y. Hoshi, On the pro-p absolute anabelian geometry of proper hyperbolic curves, RIMS Preprint, 1860.

[4] Liu, Q.; Lorenzini, D. Models of curves and finite covers, Compos. Math., Volume 118 (1999), pp. 61-102

[5] Mochizuki, S. The geometry of the compactification of the Hurwitz scheme, Publ. Res. Inst. Math. Sci., Volume 31 (1995), pp. 355-441

[6] Mochizuki, S. The profinite Grothendieck conjecture for closed hyperbolic curves over number fields, J. Math. Sci. Univ. Tokyo, Volume 3 (1996), pp. 571-627

[7] Raynaud, M. p-Groupes et réduction semi-stable des courbes, The Grothendieck Festschrift, Vol. III, Progress in Mathematics, vol. 88, Birkhäuser Boston, Boston, MA, USA, 1990, pp. 179-197

[8] Raynaud, M. Mauvaise réduction des courbes et p-rang, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 319 (1994), pp. 1279-1282

[9] Raynaud, M. Revêtements de la droite affine en caractéristique p>0 et conjecture d'Abhyankar, Invent. Math., Volume 116 (1994), pp. 425-462

[10] Saïdi, M. p-Rank and semi-stable reduction of curves, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I, Volume 326 (1998), pp. 63-68

[11] Saïdi, M. p-Rank and semi-stable reduction of curves II, Math. Ann., Volume 312 (1998), pp. 625-639

[12] Tamagawa, A. Resolution of nonsingularities of families of curves, Publ. Res. Inst. Math. Sci., Volume 40 (2004), pp. 1291-1336

[13] Yang, Y. On the existence of non-finite coverings of stable curves over complete discrete valuation rings, Math. J. Okayama Univ. (2018) http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuyang/papersandpreprints/WRNFA.pdf (in press, see also)

[14] Yang, Y. Formulas for local and global p-ranks of coverings of curves, 1863 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuyang/papersandpreprints/FLG.pdf (RIMS Preprint 1863, see also)

[15] Yang, Y. On the boundedness and graph-theoreticity of p-ranks of coverings of curves, 1864 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuyang/papersandpreprints/BG.pdf (RIMS Preprint 1864, see also)