We introduce the weighted graph Laplacian Δω,c and the notion of Schrödinger operator of the form Δ1,a + W on a locally finite graph G. Concerning essential self-adjointness, we extend Wojciechowski's and Dodziuk's results for graphs with vertex constant weight. The main result in this work states that on any metrically complete weighted graph with bounded degree, the Laplacian Δω,c is essentially self-adjoint and the same holds for Schrödinger operators provided the associated quadratic form is bounded from below. We construct for the proof a strictly positive and harmonic function which allows us to write any Schrödinger operator Δ1,a + W as a Laplacian Δω,c modulo a unitary transform.
On introduit le Laplacien Δω,c d'un graphe G localement fini pondéré à la fois sur les sommets et sur les arêtes, ainsi que la notion d'opérateur de Schrödinger Δ1,a + W. Pour les graphes à poids constants sur les sommets, on étend un résultat de Wojciechowski pour le Laplacien et un résultat de Dodziuk pour les opérateurs de Schrödinger concernant le caractère essentiellement auto-adjoint. Le résultat principal de ce travail établit que pour les graphes pondérés à valence bornée et métriquement complets, le Laplacien Δω,c est essentiellement auto-adjoint, et il en va de même pour l'opérateur Δ1,a + W pourvu que la forme quadratique associée soit minorée. La preuve fait appel à la construction d'une fonction harmonique strictement positive qui permet d'écrire l'opérateur de Schrödinger Δ1,a + W comme un Laplacien à poids Δω,c à transformation unitaire près.
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Torki, Nabila. Laplaciens de graphes infinis I, graphes métriquement complets. Confluentes Mathematici, Tome 2 (2010) no. 3, pp. 333-350. doi : 10.1142/S179374421000020X. http://archive.numdam.org/articles/10.1142/S179374421000020X/
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