Dynamical sensitivity of the infinite cluster in critical percolation

Peres, Yuval; Schramm, Oded; Steif, Jeffrey E.

Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 45 (2009) no. 2, pp. 491-514.

La percolation dynamique est un modèle dans lequel le statut de chaque arête est renouvelé aux temps de saut d'un processus de Poisson indépendent. Lorsque le graphe ne possède pas de composante infinie pour le paramètre critique de la percolation, la sensibilité dynamique de cette propriété a été étudiée en détail au cours des dix dernières années. Nous nous intéressons ici au cas des graphes pour lesquels il existe une composante infinie à la valeur critique. Tout d'abord, nous donnons deux exemples de graphes dont le degré est borné, l'un pour lequel il y a percolation à tout instant à la valeur critique, et l'autre pour lequel il existe des instants exceptionnels de non-percolation. Nous faisons ensuite une analyse quasiment complète de la question pour des arbres à symétrie sphérique, dans le cas où les probabilités d'arêtes sont également à symétrie sphérique et restent uniformément bornées loin de 0 et 1. Lorsque le nombre de sommets à distance n de la racine est de l'ordre de n(log n)^α, un résultat de R. Lyons affirme que, pour un instant fixé, il y a percolation si et seulement si α>1. Nous montrons qu'il y a une composante infinie à tout instant avec probabilité 1 lorsque α>2, tandis que cette probabilité vaut 0 lorsque 1<α≤2. Dans le cas où il y a percolation à tout instant, nous mettons en lumière l'existence d'une autre forme de transition de phase. Si le nombre moyen de sommets qui sont connectés à la racine à un instant fixé est de l'ordre de n^θ avec θ>2, le nombre de composantes connexes de l'ensemble des instants auquel la racine ne percole pas est fini presque sûrement, mais il est infini avec probabilité strictement positive quand 1<θ<2.

In dynamical percolation, the status of every bond is refreshed according to an independent Poisson clock. For graphs which do not percolate at criticality, the dynamical sensitivity of this property was analyzed extensively in the last decade. Here we focus on graphs which percolate at criticality, and investigate the dynamical sensitivity of the infinite cluster. We first give two examples of bounded degree graphs, one which percolates for all times at criticality and one which has exceptional times of nonpercolation. We then make a nearly complete analysis of this question for spherically symmetric trees with spherically symmetric edge probabilities bounded away from 0 and 1. One interesting regime occurs when the expected number of vertices at the nth level that connect to the root at a fixed time is of order n(log n)^α. R. Lyons (1990) showed that at a fixed time, there is an infinite cluster a.s. if and only if α>1. We prove that the probability that there is an infinite cluster at all times is 1 if α>2, while this probability is 0 if 1<α≤2. Within the regime where a.s. there is an infinite cluster at all times, there is yet another type of “phase transition” in the behavior of the process: if the expected number of vertices at the nth level connecting to the root at a fixed time is of order n^θ with θ>2, then the number of connected components of the set of times in [0, 1] at which the root does not percolate is finite a.s., while if 1<θ<2, then the number of such components is infinite with positive probability.

[1] N. Alon and J. Spencer. The Probabilistic Method, 2nd edition. Wiley, New York, 2000. | MR | Zbl

[2] I. Benjamini and O. Schramm. Exceptional planes of percolation. Probab. Theory Related Fields 111 (1998) 551-564. | MR | Zbl

[3] J. Van Den Berg, R. Meester and D. G. White. Dynamic Boolean models. Stochastic Process. Appl. 69 (1997) 247-257. | MR | Zbl

[4] E. I. Broman and J. E. Steif. Dynamical stability of percolation for some interacting particle systems and ɛ-movability. Ann. Probab. 34 (2006) 539-576. | MR | Zbl

[5] G. Grimmett. Percolation, 2nd edition. Springer-Verlag, New York, 1999. | MR

[6] O. Häggström, Y. Peres and J. E. Steif. Dynamical percolation. Ann. Inst. H. Poincarè Probab. Statist. 33 (1997) 497-528. | Numdam | MR | Zbl

[7] J. Jonasson and J. E. Steif. Dynamical models for circle covering: Brownian motion and Poisson updating. Ann. Probab. 36 (2008) 739-764. | MR | Zbl

[8] D. Khoshnevisan. Dynamical percolation on general trees. Probab. Theory Related Fields. 140 (2008) 169-193. | MR | Zbl

[9] R. Lyons. Random walks, capacity, and percolation on trees. Ann. Probab. 20 (1992) 2043-2088. | MR | Zbl

[10] R. Pemantle and Y. Peres. Domination between trees and application to an explosion problem. Ann. Probab. 22 (1994) 180-194. | MR | Zbl

[11] R. Pemantle and Y. Peres. Critical random walk in random environment on trees. Ann. Probab. 23 (1995) 105-140. | MR | Zbl

[12] Y. Peres and J. E. Steif. The number of infinite clusters in dynamical percolation. Probab. Theory Related Fields 111 (1998) 141-165. | MR | Zbl

[13] O. Schramm and J. E. Steif. Quantitative noise sensitivity and exceptional times for percolation. Ann. Math. To appear. | MR | Zbl