Disorder relevance at marginality and critical point shift

Giacomin, Giambattista; Lacoin, Hubert; Toninelli, Fabio Lucio

Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 47 (2011) no. 1, pp. 148-175.

Récemment, les prédictions issues des méthodes de groupe de renormalisation concernant l'influence du désordre pour les modèles d'accrochage ont été rendus rigoureuses mathématiquement. La description du phénomène est particulièrement complète dans le cas où le désordre est pertinent ou non-pertinent au sens du critère de Harris: on étudie si le désordre gelé engendre un comportement critique différent de celui que l'on observe pour le système pur, i.e. moyenné. Le critère de Harris se base sur le signe de l'exposant de la chaleur spécifique du système pur pour déterminer l'influence du désordre, mais ne prédit rien dans le cas où cet exposant vaut zéro. Ce cas est dit marginal et il n'y a pas de consensus dans la littérature physique sur ce que l'on devrait observer pour le système désordonné marginal; en particulier, il y a une controverse pour déterminer si un désordre de faible amplitude engendre ou non un déplacement du point critique du système avec désordre gelé par rapport à celui du système pur. Dans [Comm. Pure Appl. Math. 63 (2010) 233-265], nous avons démontré que, dans le cas marginal, la différence entre les deux points critiques est au moins d'ordre exp(-c / β4), où c > 0 et β2 est la variance du désordre, pour β ∈ (0, 1) dans le cas d'un désordre gaussien IID. L'objectif de cet article est d'améliorer le résultat précédent: en particulier nous montrons que la borne inférieure exp(-c / β4) pour le déplacement du point critique peut être remplacée par exp(-c(b) / βb), c(b) > 0 pour tout b > 2 (b = 2 est la borne supérieure connue, et le résultat prédit dans [J. Stat. Phys. 66 (1992) 1189-1213]), et nous généralisons la preuve à des désordres IID très généraux. La démonstration s'appuie sur des estimées obtenues par coarse graining, et sur l'estimation de moments non-entiers de la fonction de partition, en modifiant la loi du désordre en y appliquant un potentiel multicorps.

Recently the renormalization group predictions on the effect of disorder on pinning models have been put on mathematical grounds. The picture is particularly complete if the disorder is relevant or irrelevant in the Harris criterion sense: the question addressed is whether quenched disorder leads to a critical behavior which is different from the one observed in the pure, i.e. annealed, system. The Harris criterion prediction is based on the sign of the specific heat exponent of the pure system, but it yields no prediction in the case of vanishing exponent. This case is called marginal, and the physical literature is divided on what one should observe for marginal disorder, notably there is no agreement on whether a small amount of disorder leads or not to a difference between the critical point of the quenched system and the one for the pure system. In [Comm. Pure Appl. Math. 63 (2010) 233-265] we have proven that the two critical points differ at marginality of at least exp(-c / β4), where c > 0 and β2 is the disorder variance, for β ∈ (0, 1) and gaussian IID disorder. The purpose of this paper is to improve such a result: we establish in particular that the exp(-c / β4) lower bound on the shift can be replaced by exp(-c(b) / βb), c(b) > 0 for b > 2 (b = 2 is the known upper bound and it is the result claimed in [J. Stat. Phys. 66 (1992) 1189-1213]), and we deal with very general distribution of the IID disorder variables. The proof relies on coarse graining estimates and on a fractional moment change of measure argument based on multi-body potential modifications of the law of the disorder.

[1] K. S. Alexander. The effect of disorder on polymer depinning transitions. Comm. Math. Phys. 279 (2008) 117-146. | MR | Zbl

[2] K. S. Alexander and N. Zygouras. Quenched and annealed critical points in polymer pinning models. Comm. Math. Phys. 291 (2009) 659-689. | MR | Zbl

[3] K. S. Alexander and N. Zygouras. Equality of critical points for polymer depinning transitions with loop exponent one. Ann. Appl. Probab. 20 (2010) 356-366. | MR | Zbl

[4] N. H. Bingham, C. M. Goldie and J. L. Teugels. Regular Variation. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987. | MR | Zbl

[5] K. L. Chung and P. Erdös. Probability limit theorems assuming only the first moment I. Mem. Amer. Math. Soc. 6 (1951) 1-19. | MR | Zbl

[6] F. Comets and N. Yoshida. Directed polymers in random environment are diffusive at weak disorder. Ann. Probab. 34 (2006) 1746-1770. | MR | Zbl

[7] B. Derrida, G. Giacomin, H. Lacoin and F. L. Toninelli. Fractional moment bounds and disorder relevance for pinning models. Comm. Math. Phys. 287 (2009) 867-887. | MR

[8] B. Derrida, V. Hakim and J. Vannimenus. Effect of disorder on two-dimensional wetting. J. Stat. Phys. 66 (1992) 1189-1213. | MR | Zbl

[9] R. A. Doney. One-sided local large deviation and renewal theorems in the case of infinite mean. Probab. Theory Related Fields 107 (1997) 451-465. | MR | Zbl

[10] M. E. Fisher. Walks, walls, wetting, and melting. J. Stat. Phys. 34 (1984) 667-729. | MR | Zbl

[11] G. Forgacs, J. M. Luck, T. M. Nieuwenhuizen and H. Orland. Wetting of a disordered substrate: Exact critical behavior in two dimensions. Phys. Rev. Lett. 57 (1986) 2184-2187.

[12] G. Giacomin. Random Polymer Models. Imperial College Press, London, 2007. | MR | Zbl

[13] G. Giacomin. Renewal sequences, disordered potentials, and pinning phenomena. In Spin Glasses: Statics and Dynamics 235-270. Progress in Probability 62. Birkhäuser, Basel, 2009. | MR | Zbl

[14] G. Giacomin, H. Lacoin and F. L. Toninelli. Marginal relevance of disorder for pinning models. Comm. Pure Appl. Math. 63 (2010) 233-265. | MR | Zbl

[15] G. Giacomin and F. L. Toninelli. Smoothing effect of quenched disorder on polymer depinning transitions. Comm. Math. Phys. 266 (2006) 1-16; Smoothing of depinning transitions for directed polymers with quenched disorder. Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 070602. | MR | Zbl

[16] G. Giacomin and F. L. Toninelli. On the irrelevant disorder regime of pinning models. Ann. Probab. 37 (2009) 1841-1873. | MR | Zbl

[17] A. B. Harris. Effect of random defects on the critical behaviour of ising models. J. Phys. C 7 (1974) 1671-1692.

[18] H. Lacoin. Hierarchical pinning model with site disorder: Disorder is marginally relevant. Probab. Theory Related Fields. To appear. Available at arXiv:0807.4864 [math.PR]. | MR | Zbl

[19] F. L. Toninelli. A replica-coupling approach to disordered pinning models. Comm. Math. Phys. 280 (2008) 389-401. | MR | Zbl

[20] F. L. Toninelli. Coarse graining, fractional moments and the critical slope of random copolymers. Electron. J. Probab. 14 (2009) 531-547. | MR | Zbl