Spectral condition, hitting times and Nash inequality

Löcherbach, Eva; Loukianov, Oleg; Loukianova, Dasha

Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 50 (2014) no. 4, pp. 1213-1230.

Soit $X$ un processus de Hunt $\mu$-symétrique à valeurs dans un espace LCCB $𝙴$. Pour un ouvert $𝙶\subseteq 𝙴$, soit ${\tau }_{𝙶}$ le temps de sortie de $𝙶$ par $X$ et $A^{𝙶}$ le générateur du processus tué lorsqu’il quitte $𝙶$. Soit $r:[0,\infty [\to [0,\infty [$ et $R\left(t\right)={\int }_0^{t}r\left(s\right)\mathrm{d}s$. Nous établissons des conditions nécéssaires et suffisantes pour que ${𝔼}_{\mu }R\left({\tau }_{𝙶}\right)<\infty$. Ces conditions sont données en termes du comportement au voisinage de zéro de la mesure spectrale de $-A^{𝙶}$ Dans le cas ou $r\left(t\right)=t^l$, $l\ge 0$, en utilisant ces conditions, à partir de ${𝔼}_{\mu }R\left({\tau }_{𝙶}\right)<\infty$ nous déduisons l’inégalité de Nash pour le processes tué. Dans le cas d’un processus de diffusion cela permet de montrer que l’existence des moments d’ordre $l+1$ pour ${\tau }_{𝙶}$ implique l’inégalité de Nash d’ordre $p=\frac{l+2}{l+1}$ pour le processus $X$. La vitesse de convergence du semi-groupe dans ${𝕃}^2\left(\mu \right)$ est donnée par $t^{-(l+1)}$. Finalement pour un processus de Hunt $\mu$-symétrique à valeurs dans un espace LCCB nous montrons que l’inégalité de Nash donnant lieu à la convergence du semi-groupe avec la vitesse $t^{-(l+1)}$ implique l’existence des moments d’ordre $l+1-\epsilon$ pour ${\tau }_{𝙶}$, pour tout $\epsilon >0$.

Let $X$ be a $\mu$-symmetric Hunt process on a LCCB space $𝙴$. For an open set $𝙶\subseteq 𝙴$, let ${\tau }_{𝙶}$ be the exit time of $X$ from $𝙶$ and $A^{𝙶}$ be the generator of the process killed when it leaves $𝙶$. Let $r:[0,\infty [\to [0,\infty [$ and $R\left(t\right)={\int }_0^{t}r\left(s\right)\mathrm{d}s$. We give necessary and sufficient conditions for ${𝔼}_{\mu }R\left({\tau }_{𝙶}\right)<\infty$ in terms of the behavior near the origin of the spectral measure of $-A^{𝙶}$. When $r\left(t\right)=t^l$, $l\ge 0$, by means of this condition we derive the Nash inequality for the killed process. In the diffusion case this permits to show that the existence of moments of order $l+1$ for ${\tau }_{𝙶}$ implies the Nash inequality of order $p=\frac{l+2}{l+1}$ for the whole process. The associated rate of convergence of the semi-group in ${𝕃}^2\left(\mu \right)$ is bounded by $t^{-(l+1)}$. Finally, we show for general Hunt processes that the Nash inequality giving rise to a convergence rate of order $t^{-(l+1)}$ of the semi-group implies the existence of moments of order $l+1-\epsilon$ for ${\tau }_{𝙶}$, for all $\epsilon >0$.

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