Purity of level $m$ stratifications

Nicole, Marc-Hubert; Vasiu, Adrian; Wedhorn, Torsten

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 43 (2010) no. 6, pp. 925-955.

Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$. Soit $D_m$ un ${BT}_m$ sur $k$ (i.e., un groupe de Barsotti-Tate tronqué en échelon $m$ sur $k$). Soient $S$ un $k$-schéma et $X$ un ${BT}_m$ sur $S$. Soit $S_{D_m}\left(X\right)$ le sous-schéma de $S$ correspondant au lieu où $X$ est isomorphe à $D_m$ localement pour la topologie fppf. Si $p\ge 5$, nous montrons que $S_{D_m}\left(X\right)$ est pur dans $S$, i.e. l’immersion $S_{D_m}\left(X\right)\hookrightarrow S$ est affine. Pour $p\in \{2,3\}$, nous prouvons la pureté pour $D_m$ satisfaisant une certaine propriété technique dépendant uniquement de la $p$-torsion $D_m\left[p\right]$. Pour $p\ge 5$, nous utilisons les techniques développées pour montrer que toutes les stratifications par l’échelon associées aux variétés de Shimura de type Hodge sont pures.

Let $k$ be a field of characteristic $p>0$. Let $D_m$ be a ${BT}_m$ over $k$ (i.e., an $m$-truncated Barsotti-Tate group over $k$). Let $S$ be a $k$-scheme and let $X$ be a ${BT}_m$ over $S$. Let $S_{D_m}\left(X\right)$ be the subscheme of $S$ which describes the locus where $X$ is locally for the fppf topology isomorphic to $D_m$. If $p\ge 5$, we show that $S_{D_m}\left(X\right)$ is pure in $S$, i.e. the immersion $S_{D_m}\left(X\right)\hookrightarrow S$ is affine. For $p\in \{2,3\}$, we prove purity if $D_m$ satisfies a certain technical property depending only on its $p$-torsion $D_m\left[p\right]$. For $p\ge 5$, we apply the developed techniques to show that all level $m$ stratifications associated to Shimura varieties of Hodge type are pure.

Classification : 11E57, 11G10, 11G18, 11G25, 14F30, 14G35, 14L05, 14L15, 14L30, 14R20, 20G25
Keywords: truncated Barsotti-Tate groups, affine schemes, group actions, $F$-crystals, stratifications, purity, and Shimura varieties
Mot clés : groupes de Barsotti-Tate tronqués, schémas affines, actions de groupe, $F$ cristaux, stratifications, pureté, variétés de Shimura

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