Let be a field. We compute the set of naive homotopy classes of pointed -scheme endomorphisms of the projective line . Our result compares well with Morel’s computation in [11] of the group of -homotopy classes of pointed endomorphisms of : the set admits an a priori monoid structure such that the canonical map is a group completion.
Soit un corps. Nous déterminons l’ensemble des classes d’homotopie naïve d’endomorphismes pointés de -schémas de la droite projective . Notre résultat se compare bien avec le calcul de Morel [11] du groupe des classes d’-homotopie d’endomorphismes pointés de : l’ensemble admet a priori une structure de monoïde pour laquelle l’application canonique est une complétion en groupe.
Keywords: naive homotopy classes, rational functions, projective line, group completion
Mot clés : classes d'homotopie naïve, fractions rationnelles, droite projective, complétion en groupe
@article{ASENS_2012_4_45_4_511_0, author = {Cazanave, Christophe}, title = {Algebraic homotopy classes of rational functions}, journal = {Annales scientifiques de l'\'Ecole Normale Sup\'erieure}, pages = {511--534}, publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France}, volume = {Ser. 4, 45}, number = {4}, year = {2012}, doi = {10.24033/asens.2172}, mrnumber = {3059240}, language = {en}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2172/} }
TY - JOUR AU - Cazanave, Christophe TI - Algebraic homotopy classes of rational functions JO - Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure PY - 2012 SP - 511 EP - 534 VL - 45 IS - 4 PB - Société mathématique de France UR - http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2172/ DO - 10.24033/asens.2172 LA - en ID - ASENS_2012_4_45_4_511_0 ER -
%0 Journal Article %A Cazanave, Christophe %T Algebraic homotopy classes of rational functions %J Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure %D 2012 %P 511-534 %V 45 %N 4 %I Société mathématique de France %U http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2172/ %R 10.24033/asens.2172 %G en %F ASENS_2012_4_45_4_511_0
Cazanave, Christophe. Algebraic homotopy classes of rational functions. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Serie 4, Volume 45 (2012) no. 4, pp. 511-534. doi : 10.24033/asens.2172. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2172/
[1] Éléments de mathématique. Algèbre, chapitre IV: Polynômes et fractions rationnelles, Hermann, Paris, 1950 ; réédition Springer, 2007. | Zbl
,[2] Classes d'homotopie de fractions rationnelles, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 346 (2008), 129-133. | MR | Zbl
,[3] Théorie homotopique des schémas d'Atiyah-Hitchin, thèse de doctorat, Université Paris 13, 2009.
,[4] The -homotopy type of Atiyah-Hitchin schemes I: The geometry of complex points, preprint, 2010.
,[5] Discriminants, resultants, and multidimensional determinants, Mathematics: Theory & Applications, Birkhäuser, 1994. | MR | Zbl
, & ,[6] -théorie algébrique et -théorie topologique. I, Math. Scand. 28 (1971), 265-307. | MR | Zbl
& ,[7] Serre's problem on projective modules, Springer Monographs in Math., Springer, 2006. | MR | Zbl
,[8] Symmetric bilinear forms, Ergebn. Math. Grenzg. 73, Springer, 1973. | MR | Zbl
& ,[9] Théorie homotopique des schémas, Astérisque 256 (1999). | Numdam | Zbl
,[10] An introduction to -homotopy theory, in Contemporary developments in algebraic -theory, ICTP Lect. Notes, XV, Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste, 2004, 357-441 (electronic). | MR | Zbl
,[11] -algebraic topology over a field, Lecture Notes in Math. 2052, Springer, 2012. | MR | Zbl
,[12] -homotopy theory of schemes, Publ. Math. I.H.É.S. 90 (1999), 45-143. | Numdam | MR | Zbl
& ,[13] Homotopical algebra, Lecture Notes in Math., No. 43, Springer, 1967. | MR | Zbl
,Cited by Sources: