Local $Tb$ theorem with $L^2$ testing conditions and general measures: Calderón-Zygmund operators

Lacey, Michael T.; Martikainen, Henri

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 1, pp. 57-86.

Les théorèmes $Tb$ avec conditions de type $L^p$ pour une famille de fonctions de test indexées par les cubes ont été étudiés abondamment dans le cadre de la mesure de Lebesgue. Jusqu'à très récemment, les théorèmes $Tb$ locaux dans les espaces non doublants ont été obtenus sous des conditions invariantes par transformation affine ($L^{\infty }$ ou BMO). Se dispenser de cette invariance complique la tâche. Dans un article précédent, nous avons développé une méthode permettant de surmonter cette difficulté dans un cas modèle de fonctions carrées définies à l'aide de mesures générales. Dans cet article, on s'attaque au cas des opérateurs de Calderón-Zygmund. Plus précisément, on démontre un théorème $Tb$ local dans le cas non doublant avec des conditions de test $L^2$ pour tous les opérateurs de Calderón-Zygmund. Un ingrédient essentiel est le contrôle d'une transformation de martingale tordue qui s'avère subtile dans notre cadre.

Local $Tb$ theorems with $L^p$ type testing conditions have been studied widely in the case of the Lebesgue measure. Such conditions are tied to the scale of the given test function's supporting cube. Until very recently, local $Tb$ theorems in the non-homogeneous case had only been proved assuming scale invariant ($L^{\infty }$ or BMO) testing conditions. Moving past such strong assumptions in non-homogeneous analysis is a key problem. In a previous paper we overcame this obstacle in the model case of square functions defined using general measures. In this paper we finally tackle the very demanding case of Calderón-Zygmund operators. That is, we prove a non-homogeneous local $Tb$ theorem with $L^2$ type testing conditions for all Calderón-Zygmund operators. In doing so we prove general twisted martingale transform inequalities which turn out to be subtle in our general framework.

Classification : 42B20.
Keywords: Calderón-Zygmund operator, non-homogeneous analysis, local $Tb$, $L^2$ test functions.
Mot clés : Opérateurs de Calderón-Zygmund, analyse non doublante, théorèmes $Tb$ locaux, $L^2$ fonctions de test locales.

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