Local $Tb$ theorem with $L^2$ testing conditions and general measures: Calderón-Zygmund operators

Lacey, Michael T.; Martikainen, Henri

doi:10.24033/asens.2276

Local

T b

theorem with

L^{2}

testing conditions and general measures: Calderón-Zygmund operators
[Théorème

T b

local avec conditions de test

L^{2}

pour les mesures générales : opérateurs de Calderón-Zygmund]

Lacey, Michael T. ; Martikainen, Henri

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 1, pp. 57-86.

Résumé
Abstract

Les théorèmes $T b$ avec conditions de type $L^{p}$ pour une famille de fonctions de test indexées par les cubes ont été étudiés abondamment dans le cadre de la mesure de Lebesgue. Jusqu'à très récemment, les théorèmes $T b$ locaux dans les espaces non doublants ont été obtenus sous des conditions invariantes par transformation affine ( $L^{\infty}$ ou BMO). Se dispenser de cette invariance complique la tâche. Dans un article précédent, nous avons développé une méthode permettant de surmonter cette difficulté dans un cas modèle de fonctions carrées définies à l'aide de mesures générales. Dans cet article, on s'attaque au cas des opérateurs de Calderón-Zygmund. Plus précisément, on démontre un théorème $T b$ local dans le cas non doublant avec des conditions de test $L^{2}$ pour tous les opérateurs de Calderón-Zygmund. Un ingrédient essentiel est le contrôle d'une transformation de martingale tordue qui s'avère subtile dans notre cadre.

Local $T b$ theorems with $L^{p}$ type testing conditions have been studied widely in the case of the Lebesgue measure. Such conditions are tied to the scale of the given test function's supporting cube. Until very recently, local $T b$ theorems in the non-homogeneous case had only been proved assuming scale invariant ( $L^{\infty}$ or BMO) testing conditions. Moving past such strong assumptions in non-homogeneous analysis is a key problem. In a previous paper we overcame this obstacle in the model case of square functions defined using general measures. In this paper we finally tackle the very demanding case of Calderón-Zygmund operators. That is, we prove a non-homogeneous local $T b$ theorem with $L^{2}$ type testing conditions for all Calderón-Zygmund operators. In doing so we prove general twisted martingale transform inequalities which turn out to be subtle in our general framework.

Publié le : 2016-11-12

MR Zbl

DOI : 10.24033/asens.2276

Classification : 42B20.
Keywords: Calderón-Zygmund operator, non-homogeneous analysis, local $Tb$, $L^2$ test functions.
Mot clés : Opérateurs de Calderón-Zygmund, analyse non doublante, théorèmes $Tb$ locaux, $L^2$ fonctions de test locales.

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Lacey, Michael T.; Martikainen, Henri. Local $Tb$ theorem with $L^2$ testing conditions and general measures: Calderón-Zygmund operators. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 1, pp. 57-86. doi : 10.24033/asens.2276. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2276/

Bibliographie
Cité par

Auscher, P.; Hofmann, S.; Muscalu, C.; Tao, T.; Thiele, C. Carleson measures, trees, extrapolation, and $T (b)$ theorems, Publ. Mat., Volume 46 (2002), pp. 257-325 (ISSN: 0214-1493) | DOI | MR | Zbl

Auscher, P.; Routin, E. Local $T b$ theorems and Hardy inequalities, J. Geom. Anal., Volume 23 (2013), pp. 303-374 (ISSN: 1050-6926) | DOI | MR | Zbl

Auscher, P.; Yang, Q. X. BCR algorithm and the $T (b)$ theorem, Publ. Mat., Volume 53 (2009), pp. 179-196 (ISSN: 0214-1493) | DOI | MR | Zbl

Christ, M. A $T (b)$ theorem with remarks on analytic capacity and the Cauchy integral, Colloq. Math., Volume 60/61 (1990), pp. 601-628 (ISSN: 0010-1354) | DOI | MR | Zbl

Hytönen, T. P.; Lacey, M. T.; Martikainen, H.; Orponen, T.; Reguera, M. C.; Sawyer, E. T.; Uriarte-Tuero, I. Weak and strong type estimates for maximal truncations of Calderón-Zygmund operators on $A_{p}$ weighted spaces, J. Anal. Math., Volume 118 (2012), pp. 177-220 (ISSN: 0021-7670) | DOI | MR | Zbl

Hytönen, T.; Martikainen, H. On general local $T b$ theorems, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 364 (2012), pp. 4819-4846 (ISSN: 0002-9947) | DOI | MR | Zbl

Hytönen, T. P.; Nazarov, F. The local $T b$ theorem with rough test functions (preprint arXiv:1206.0907 ) | MR

Hofmann, S. A proof of the local $T b$ theorem for standard Calderón-Zygmund operators (preprint arXiv:0705.0840 )

Hofmann, S., Perspectives in partial differential equations, harmonic analysis and applications (Proc. Sympos. Pure Math.), Volume 79, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, pp. 175-185 | DOI | MR | Zbl

Hytönen, T.; Pérez, C.; Treil, S.; Volberg, A. Sharp weighted estimates for dyadic shifts and the $A_{2}$ conjecture, J. reine angew. Math., Volume 687 (2014), pp. 43-86 (ISSN: 0075-4102) | DOI | MR | Zbl

Lacey, M. T.; Martikainen, H. Local $T b$ theorem with $L^{2}$ testing conditions and general measures: Square functions (to appear in J. Anal. Math ) | MR

Lacey, M. T.; Petermichl, S.; Reguera, M. C. Sharp $A_{2}$ inequality for Haar shift operators, Math. Ann., Volume 348 (2010), pp. 127-141 (ISSN: 0025-5831) | DOI | MR | Zbl

Lacey, M. T.; Vähäkangas, A. V. On the local $T b$ theorem: a direct proof under duality assumption (to appear in Proc. Edinb. Math. Soc ) | MR

Lacey, M. T.; Vähäkangas, A. V. The perfect local $T b$ theorem and twisted martingale transforms, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 142 (2014), pp. 1689-1700 (ISSN: 0002-9939) | DOI | MR | Zbl

Martikainen, H.; Mourgoglou, M. Square functions with general measures, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 142 (2014), pp. 3923-3931 (ISSN: 0002-9939) | DOI | MR | Zbl

Nazarov, F.; Treil, S.; Volberg, A. Accretive system $T b$ -theorems on nonhomogeneous spaces, Duke Math. J., Volume 113 (2002), pp. 259-312 (ISSN: 0012-7094) | DOI | MR | Zbl

Nazarov, F.; Treil, S.; Volberg, A. The $T b$ -theorem on non-homogeneous spaces, Acta Math., Volume 190 (2003), pp. 151-239 (ISSN: 0001-5962) | DOI | MR | Zbl

Sawyer, E. T. A characterization of two weight norm inequalities for fractional and Poisson integrals, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 308 (1988), pp. 533-545 (ISSN: 0002-9947) | DOI | MR | Zbl

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