Solutions globales de l'équation des ondes semi-linéaire critique à coefficients variables

Ibrahim, Slim; Majdoub, Mohamed

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 1, pp. 1-22.

Dans ce travail, on s’intéresse à l’existence globale de solutions classiques et au sens de Shatah-Struwe de l’équation des ondes critique à coefficients variables en dimension $d$ d’espace

$${\square }_{A}u+{\left|u\right|}^{4/(d-2)}u={\partial }_t^{2}u-\mathrm{div}(A\left(x\right)·{\nabla }_{x}u)+{\left|u\right|}^{4/(d-2)}u=0,{ℝ}_t\times {ℝ}_x^d,$$

où $A$ est une fonction régulière à valeurs dans les matrices $d\times d$ définies positives, valant l’identité en dehors d’un compact fixe.

In this work, we study the existence of both global smooth and Shatah-Struwe’s solutions of the critical wave equation in variable coefficients in dimension $d$ of space

$${\square }_{A}u+{\left|u\right|}^{4/(d-2)}u={\partial }_t^{2}u-\mathrm{div}(A\left(x\right)·{\nabla }_{x}u)+{\left|u\right|}^{4/(d-2)}u=0,{ℝ}_t\times {ℝ}_x^d,$$

where $A$ is a regular function valued in the space of $d\times d$ positive definite matrix and which is the identity outside a fixed compact.

Classification : 35-XX, 35Lxx, 35L05
Mot clés : Équation des ondes, inégalités de Strichartz, existence globale, cônes géodésiques
Keywords: wave equations, Strichartz estimates, global existence, geodesic cones

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