Classes de Chern et classes de cycles en cohomologie rigide

Petrequin, Denis

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 1, pp. 59-121.

Nous construisons dans cet article les classes de Chern et les classes de cycles en cohomologie rigide. Nous démontrons par la suite que ces constructions vérifient bien les propriétés attendues. La cohomologie rigide est donc une cohomologie de Weil.

We define in this article Chern classes and cycle classes in rigid cohomology. Then we prove that these constructions verify the expected properties. The rigid cohomology is a Weil cohomology.

Classification : 14F30
Mot clés : cohomologie rigide, cohomologie cristalline, classes de cycles, classes de Chern
Keywords: rigid cohomology, crystalline cohomology, cycle classes, Chern classes

[1] A. Grothendieck & J. Dieudonné - Eléments de géométrie algébrique I, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 166, Springer-Verlag, 1971. | MR | Zbl

[2] A. Grothendieck & J. Dieudonné - Eléments de géométrie algébrique, Publications Math., vol. 20, 24, 28, 32, IHES, 1964-1967. | Zbl

[3] M. Artin, A. Grothendieck & J. Verdier - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, Lectures Notes in Math., vol. 269, 270, 305, Springer-Verlag, 1972-1973.

[4] P. Berthelot, A. Grothendieck & L. Illusie - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch, Lectures Notes in Math., vol. 225, Springer-Verlag, 1971. | MR | Zbl

[5] P. Berthelot - Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique $p>0$, Lectures Notes in Math., vol. 407, Springer-Verlag, 1974. | MR | Zbl

[6] -, « Géométrie rigide et cohomologie rigide des variétés algébriques de caractéristique $p$ », Mém. Soc. Math. France 23 (1986), p. 7-32. | Numdam | Zbl

[7] -, Lettre de Berthelot à Illusie, 1990.

[8] -, « Cohomologie rigide et cohomologie rigide à support propre », Prépublications IRMAR, 1996.

[9] -, « $𝒟$-modules arithmétiques I. Opérateurs différentiels de niveau fini », Ann. Sci. École Norm. Sup. 29 (1996), p. 185-272. | Numdam | MR | Zbl

[10] -, « Dualité de Poincaré et formule de Künneth en cohomologie rigide », C.R. Acad. Sci. Paris 325 (1997), p. 493-498. | Zbl

[11] -, « Finitude et pureté cohomologique en cohomologie rigide », Invent. Math. 128 (1997), p. 329-377. | MR | Zbl

[12] P. Berthelot & L. Illusie - « Classes de Chern en cohomologie cristalline », C.R. Acad. Sci. Paris 270 (1970), p. 1695-1697, 1750-1752. | MR | Zbl

[13] P. Berthelot & A. Ogus - « $F$-isocrystals and De Rham cohomology I », Invent. Math. 72 (1983), p. 159-199. | MR | Zbl

[14] S. Bloch & A. Ogus - « Gersten's conjecture and the homology of schemes », Ann. Sci. École Norm. Sup. 7 (1974), p. 181-202. | Numdam | MR | Zbl

[15] R. Elkik - « L'équivalence rationnelle », Séminaire de géométrie analytique (École Norm. Sup., Paris, 1974-75), Astérisque, vol. 36-37, Soc. Math. France, Paris, 1976, p. 35-63. | MR | Zbl

[16] W. Fulton - « Rational equivalence on singular varieties », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 45 (1975), p. 147-167. | Numdam | MR | Zbl

[17] -, Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer-Verlag, 1984. | MR | Zbl

[18] H. Gillet - « Riemann-Roch theorems for higher algebraic $K$-theory », Advances in Math. 40 (1981), p. 203-289. | MR | Zbl

[19] H. Gillet & W. Messing - « Cycle classes and Riemann-Roch for crystalline cohomology », Duke Math. J. 55 (1987), no. 3, p. 501-538. | MR | Zbl

[20] M. Gros - Classes de Chern et classes de cycles en cohomologie de Hodge-Witt logarithmique, Mém. Soc. Math. France, vol. 21, Gauthier-Villars, 1985. | Numdam | MR | Zbl

[21] E. Grosse-Klönne - « Finiteness of de Rham cohomology in rigid analysis », Preprint : to appear in Duke Math. J., 2000. | MR | Zbl

[22] A. Grothendieck - « La théorie des classes de Chern », Bull. Soc. Math. France 86 (1958), p. 137-154. | Numdam | MR | Zbl

[23] -, Local cohomology, Lecture Notes in Math., vol. 41, Springer-Verlag, 1967. | MR

[24] -, « Classes de Chern et représentations linéaires des groupes discrets », Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North-Holland, 1968, p. 215-305. | Zbl

[25] R. Hartshorne - « On the De Rham cohomology of algebraic varieties », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 45 (1976), p. 5-99. | Numdam | MR | Zbl

[26] F. Hirzebruch - Topological methods in algebraic geometry, Grundlehren der Math. Wissenschaften, vol. 131, Springer-Verlag, 1966. | MR | Zbl

[27] L. Illusie - Complexe cotangent et déformations II, Lecture Notes in Math., vol. 283, Springer-Verlag, 1972. | Zbl

[28] U. Jannsen - Mixed motives and algebraic K-theory, Lecture Notes in Math., vol. 1400, Springer-Verlag, 1989. | MR | Zbl

[29] W. Lütkebohmert - « Formal-algebraic and rigid-analytic geometry », Math. Ann. 286 (1990), p. 341-371. | MR | Zbl

[30] P. Monsky & G. Washnitzer - « Formal cohomology I », Ann. of Math. 88 (1968), p. 218-238. | MR | Zbl

[31] M. Nagata - « Embedding of an abstract variety in a complete variety », J. Math. Kyoto Univ. 2 (1962), p. 1-10. | MR | Zbl

[32] W. Niziol - « On the image of $p$-adic regulators », Invent. Math. 127 (1997), p. 375-400. | MR | Zbl

[33] A. Ogus - « The convergent topos in characteristic $p$ », The Grothendieck Festschrifft, North-Holland, 1968, p. 133-162. | MR | Zbl

[34] D. Petrequin - « Classes de Chern et classes de cycle en cohomologie rigide », Thèse, Université Rennes I, 2000.

[35] -, « Classes de cycles en cohomologie rigide », Prépublication IRMAR 01-06, Université Rennes I, 2001.

[36] M. Raynaud - « Géométrie analytique rigide, d'après Tate, Kiehl,... », Table Ronde d'Analyse non archimédienne (Paris, 1972), Mém. Soc. Math. France, vol. 39/40, 1974, p. 319-327. | Numdam | MR | Zbl

[37] M. Raynaud & L. Gruson - « Critères de platitude et de projectivité », Invent. Math. 13 (1971), p. 1-89. | MR | Zbl

[38] F. Trihan - « Théorie de Dieudonné cristalline de niveau variable », Thèse Université Rennes I, 1996.