Dual Blobs and Plancherel Formulas

Kim, Ju-Lee

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 132 (2004) no. 1, pp. 55-80.

Soient $k$ un corps $p$-adique, $𝖦$ un groupe réductif connexe défini sur $k$, $G$ son groupe de points $k$-rationnels et $𝔤$ l’algèbre de Lie de $𝖦$. Sous certaines hypothèses, nous quantifions le dual tempéré $\widehat{G}$ de $G$ par la formule de Plancherel sur $𝔤$, en utilisant des développements en caractères. Pour cela, il faut en particulier mettre en correspondance les facteurs de la décomposition spectrale de la formule de Plancherel sur $𝔤$ et sur $G$. Comme conséquence, nous démontrons que toute représentation tempérée contient un bon $𝖪$-type minimal ; nous étendons aussi ce résultat aux représentations admissibles irréductibles.

Let $k$ be a $p$-adic field. Let $G$ be the group of $k$-rational points of a connected reductive group $𝖦$ defined over $k$, and let $𝔤$ be its Lie algebra. Under certain hypotheses on $𝖦$ and $k$, we quantify the tempered dual $\widehat{G}$ of $G$ via the Plancherel formula on $𝔤$, using some character expansions. This involves matching spectral decomposition factors of the Plancherel formulas on $𝔤$ and $G$. As a consequence, we prove that any tempered representation contains a good minimal $𝖪$-type; we extend this result to irreducible admissible representations.

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