[Properties and . Commuting variety]
Let be a complex, smooth, irreducible algebraic variety, and be two finite dimensional complex vector spaces and be a morphism from to the space Lin of linear maps from to . For in , we denote by and the kernel and the image of , and by the morphism from to Lin which associates to the linear map . Let i be the smallest dimension of . We say that has property at if i is not greater than i. Let be the dual of , S be the symmetric algebra of , be the ideal of generated by the functions where is in and be the subvariety of zeros in of , be the radical of , be the support of in and be the projection of on . The first main result says that under two technical conditions on , is a closed subset of whose codimension is at least equal to if and only if the closure of the subset of points in at which has not property , has codimension at least equal to . Let be a Lie algebra. We say that has the property at the element of if the adjoint map from to the space of linear endomorphisms of has the property (R) at and that has the property at the element of if the coadjoint map from to Lin has the property (R) at . The algebra has the property (Q) at if and only if the index of the stabilizer of is equal to the index of . The second main result says that any reductive Lie algebra has property (Q) at any point of .
Soient une variété algébrique complexe, lisse, irréductible, et deux espaces vectoriels complexes de dimension finie et un morphisme de dans l’espace Lin des applications linéaires de dans . Pour , on note et le noyau et l’image de , le morphisme de dans Lin qui associe à l’application linéaire . Soit i la dimension minimale de . On dit que a la propriété en si i est inférieur à i. Soient le dual de , S l’algèbre symétrique de , l’idéal de engendré par les fonctions où est dans et la sous-variété des zéros dans de . Désignant par le radical de , par le support de dans et par la projection de sur , le premier résultat principal de ce mémoire dit que sous deux conditions techniques sur , est une partie fermée de dont la codimension est supérieure à si et seulement si l’adhérence de l’ensemble des points de en lesquels n’a pas la propriété , a une codimension supérieure à . Soit une algèbre de Lie. On dit que a la propriété en l’élément de si l’application adjointe de dans l’espace des endomorphismes linéaires de a la propriété (R) en et que a la propriété en l’élément de si l’application coadjointe de dans a la propriété (R) en . L’algèbre a la propriété (Q) en si et seulement si l’indice du stabilisateur de est égal à l’indice de . Le deuxième résultat principal dit qu’une algèbre de Lie réductive a la propriété (Q) en tout point de .
Mot clés : indice, algèbre de Lie, endomorphisme linéaire, codimension, variété algébrique
Keywords: index, Lie algebra, linear endomorphism, codimension, algebraic variety
@article{BSMF_2004__132_4_477_0, author = {Charbonnel, Jean-Yves}, title = {Propri\'et\'es $(\mathbf {Q})$ et $(\mathbf {C})$. {Vari\'et\'e} commutante}, journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France}, pages = {477--508}, publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France}, volume = {132}, number = {4}, year = {2004}, doi = {10.24033/bsmf.2471}, zbl = {1092.14055}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2471/} }
TY - JOUR AU - Charbonnel, Jean-Yves TI - Propriétés $(\mathbf {Q})$ et $(\mathbf {C})$. Variété commutante JO - Bulletin de la Société Mathématique de France PY - 2004 SP - 477 EP - 508 VL - 132 IS - 4 PB - Société mathématique de France UR - http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2471/ DO - 10.24033/bsmf.2471 LA - fr ID - BSMF_2004__132_4_477_0 ER -
%0 Journal Article %A Charbonnel, Jean-Yves %T Propriétés $(\mathbf {Q})$ et $(\mathbf {C})$. Variété commutante %J Bulletin de la Société Mathématique de France %D 2004 %P 477-508 %V 132 %N 4 %I Société mathématique de France %U http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2471/ %R 10.24033/bsmf.2471 %G fr %F BSMF_2004__132_4_477_0
Charbonnel, Jean-Yves. Propriétés $(\mathbf {Q})$ et $(\mathbf {C})$. Variété commutante. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 132 (2004) no. 4, pp. 477-508. doi : 10.24033/bsmf.2471. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2471/
[1] Représentations des groupes de Lie résolubles, Monographies de la Société Mathématique de France, vol. 4, Dunod, 1972. | Zbl
et al. -[2] « Champs de vecteurs adjoints sur les groupes et algèbres de Lie semi-simples », 309 (1979), p. 178-190. | MR | Zbl
-[3] « The index of a Lie algebra, the centraliser of a nilpotent element, and the normaliser of the centraliser », arXiv: math.AG/0107031, 2001. | Zbl
-[4] « Commuting varieties of semisimple Lie algebras and algebraic groups », Compositio Math. 38 (1979), p. 311-322. | Numdam | MR | Zbl
-[5] Basic Algebraic Geometry 2, Springer-Verlag, 1994. | MR | Zbl
-[6] Simple singularities and simple algebraic groups, Lecture Notes in Mathematics, vol. 815, Springer-Verlag, 1980. | MR | Zbl
-[7] « Sur les éléments réguliers dans les algèbres de Lie réductives », Bull. Sci. Math. 113 (1989), p. 51-83. | MR | Zbl
-Cited by Sources: