Cohomologie et K-théorie équivariantes des variétés de Bott-Samelson et des variétés de drapeaux

L’objet de cet article est de calculer la cohomologie et la K-théorie équivariantes des variétés de Bott-Samelson (théorèmes 3.3 et 4.3) et d’en déduire des résultats sur les variétés de drapeaux des groupes de Kac-Moody. Dans la section 3, on retrouve la formule de restriction aux points fixes de la base ${\left\{{\widehat{\xi }}^w\right\}}_{w\in W}$ de $H_T^{*}(G/B)$ (théorème 3.9) prouvée par Sara Billey dans [4]. Dans la section 4, on donne l’expression explicite de la restriction aux points fixes de la base ${\left\{{\widehat{\psi }}^w\right\}}_{w\in W}$ de $K_T(G/B)$ définie par Kostant et Kumar dans [13] (théorème 4.7). Dans le cas fini, cette étude nous permet également de calculer la matrice de changement de bases entre ${\left\{{\widehat{\psi }}^w\right\}}_{w\in W}$ et ${\{*\left[{𝒪}_{{\overline{X}}_w}\right]\}}_{w\in W}$ (théorème 4.11).

The aim of this text is to compute the equivariant cohomology and K-theory of Bott-Samelson varieties (theorem 3.3 and 4.3) and to deduce results about flag varieties of Kac-Moody groups. In section 3, we give a new proof of the formula for the restriction to fixed points of the basis ${\left\{{\widehat{\xi }}^w\right\}}_{w\in W}$ of $H_T^{*}(G/B)$ (theorem 3.9) proved by Sara Billey in [4]. In section 4, we give an explicit formula for the restriction to fixed points of the basis ${\left\{{\widehat{\psi }}^w\right\}}_{w\in W}$ of $K_T(G/B)$ defined by Kostant and Kumar in [13] (theorem 4.7). In the finite case, we describe how the basis ${\{*\left[{𝒪}_{{\overline{X}}_w}\right]\}}_{w\in W}$ transforms with respect to the basis ${\left\{{\widehat{\psi }}^w\right\}}_{w\in W}$ (theorem 4.11).