Sur le rang des jacobiennes sur un corps de fonctions

Hindry, Marc; Pacheco, Amílcar

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 2, pp. 275-295.

Soit $f:𝒳\to C$ une surface projective fibrée au-dessus d’une courbe et définie sur un corps de nombres $k$. Nous donnons une interprétation du rang du groupe de Mordell-Weil sur $k\left(C\right)$ de la jacobienne de la fibre générique (modulo la partie constante) en termes de moyenne des traces de Frobenius sur les fibres de $f$. L’énoncé fournit une réinterprétation de la conjecture de Tate pour la surface $𝒳$ et généralise des résultats de Nagao, Rosen-Silverman et Wazir.

Let $f:𝒳\to C$ be a projective surface fibered over a curve and defined over a number field $k$. We give an interpretation of the rank of the Mordell-Weil group over $k\left(C\right)$ of the jacobian of the generic fibre (modulo the constant part) in terms of average of the traces of Frobenius on the fibers of $f$. The results also give a reinterpretation of the Tate conjecture for the surface $𝒳$ and generalizes results of Nagao, Rosen-Silverman and Wazir.

Classification : 11G, 11G40, 11M, 14G10
Mot clés : variété jacobienne, corps de fonctions, conjecture de Tate
Keywords: jacobian variety, function fields, Tate conjecture

[1] M. Artin & G. Winters - « Degenerate fibers and reduction of curves », 10 (1971), p. 373-383. | MR | Zbl

[2] L. Bǎdescu - Algebraic surfaces, Springer-Verlag, 2001, éd. roumaine, Suprafete Algebrice, 1981. | MR | Zbl

[3] A. Beauville - Surfaces algébriques complexes, vol. 54, Société Mathématique de France, 1978. | Numdam | MR | Zbl

[4] P. Deligne - « Conjectures de Weil I », 43 (1974), p. 273-307. | Numdam | MR | Zbl

[5] -(éd.) - Cohomologie étale (SGA 4 1/2), Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie, vol. 569, Springer, 1976.

[6] R. Harsthorne - Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1983.

[7] S. Lang - Algebraic Number Theory, Addison-Wesley, 1970. | MR | Zbl

[8] -, Abelian Varieties, Springer-Verlag, 1983. | MR

[9] J. Milne - Étale Cohomology, Princeton University Press, 1980. | MR | Zbl

[10] K. Nagao - « Construction of high-rank elliptic curves », Kobe J. Math. 11 (1994), p. 211-219. | MR | Zbl

[11] -, « $\mathbb{Q}\left(T\right)$-rank of elliptic curves and certain limits coming from local points », Manuscripta Math. 92 (1997), p. 13-32. | MR | Zbl

[12] H. Pohlman - « Algebraic cycles on abelian varieties of complex multiplication », 88 (1968), p. 161-180. | MR | Zbl

[13] D. Ramakrishnan - « Regulators, algebraic cycles and values of $L$-functions », Algebraic $K$-Theory and Algebraic Number Theory, Contemp. Math., vol. 83, American Mathematical Society, 1989, p. 183-307. | MR | Zbl

[14] M. Rosen & J. Silverman - « On the rank of an elliptic surface », 133 (1998), p. 43-67. | MR | Zbl

[15] T. Shioda - « Mordell-Weil lattices for higher genus fibration over a curve », New Trends in Algebraic Geometry, London Math. Soc. Lecture Notes, vol. 264, Cambridge University Press, 1999, p. 359-373. | MR | Zbl

[16] J. Tate - « Algebraic cycles and poles of zeta-functions », Arithmetical Algebraic Geometry, Harper and Row, New York, 1965, p. 93-110. | MR | Zbl

[17] -, « On the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and a geometric analog », Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North Holland, 1968, Sém. Bourbaki exposé no 306, p. 189-214. | Numdam | Zbl

[18] -, « Conjectures on algebraic cycles in $\ell$-adic cohomology », Motives (Seattle, WA, 1991), vol. I, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 55, American Mathematical Society, 1994, p. 71-83. | Zbl

[19] R. Wazir - « Arithmetic on elliptic threefolds », 140 (2004), p. 567-580. | MR | Zbl