Prolongements analytiques d'une classe de fonctions zêta des hauteurs et applications

Essouabri, D.

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 2, pp. 297-329.

Nous montrons dans la première partie l'existence d'un prolongement méromorphe à tout le plan complexe $ℂ$ et explicitons les propriétés et quelques conséquences, d’une large classe de séries zêta des hauteurs associées à l’espace projectif ${\mathbb{P}}_n\left(\mathbb{Q}\right)$ $(n\ge 1)$. Nous montrons dans la deuxième partie que, dans le cas du plan projectif éclaté en un point sur $\mathbb{Q}$, les fonctions zêta de hauteur associées aux fibrés en droite dont les classes sont à l’intérieur du cône des diviseurs effectifs possèdent des prolongements méromorphes à tout le plan complexe $ℂ$. Comme conséquence, ce résultat permet de redémontrer la conjecture de Manin dans ce cas mais avec un meilleur terme d’erreur que ceux connus. Il permet surtout de déterminer, le second terme en $logB$ apparaissant dans la conjecture de Manin.

In the first part of this paper, we prove that a large class of zeta functions associated to the projective space ${\mathbb{P}}_n\left(\mathbb{Q}\right)$, $(n\ge 1)$, have meromorphic continuations to the whole complex plane $ℂ$ satisfying suitable properties and give some arithmetical consequences. In the second part, we prove that the height zeta functions associated to metrized line bundles on the projective plan blown up at a point, have meromorphic continuations to the whole complex plane $ℂ$ with moderate growth and give a set of candidate poles. As an application, we give a new proof of Manin’s conjecture in this case, we calculate the second term and improve its error term.

Classification : 14G05, 14G10, 14G40, 11M41
Mot clés : fonctions zêta des hauteurs, points rationnels, fibrés vectoriels, fonction de comptage, prolongement méromorphe, conjecture de Manin
Keywords: height zeta function, rational points, line bundle, counting function, meromorphic continuation, Manin's conjecture

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