Indice du normalisateur du centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple

Moreau, Anne

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) no. 1, pp. 83-117.

L’indice d’une algèbre de Lie algébrique complexe est la codimension minimale de ses orbites coadjointes. Si $𝔤$ est semi-simple, son indice, $ind𝔤$, est égal à son rang, $rg𝔤$. Le but de cet article est d’établir une formule générale pour l’indice de $𝔫\left({𝔤}^e\right)$ pour $e$ nilpotent, où $𝔫\left({𝔤}^e\right)$ est le normalisateur dans $𝔤$ du centralisateur ${𝔤}^e$ de $e$. Plus précisément, on obtient le résultat suivant, conjecturé par D. Panyushev :

$$ind𝔫\left({𝔤}^e\right)=rg𝔤-dim𝔷\left({𝔤}^e\right),$$

où $𝔷\left({𝔤}^e\right)$ est le centre de ${𝔤}^e$. Panyushev obtient l’inégalité $ind𝔫\left({𝔤}^e\right)\ge rg𝔤-dim𝔷\left({𝔤}^e\right)$ dans Panyushev 2003 et on montre que la maximalité du rang d’une certaine matrice à coefficients dans l’algèbre symétrique $𝒮\left({𝔤}^e\right)$ implique l’autre inégalité. L’article consiste pour une large part en la preuve de la maximalité du rang de cette matrice.

The index of a complex Lie algebra is the minimal codimension of its coadjoint orbits. Let us suppose $𝔤$ semisimple, then its index, $ind𝔤$, is equal to its rank, $\mathrm{rk}𝔤$. The goal of this paper is to establish a simple general formula for the index of $𝔫\left({𝔤}^e\right)$, for $e$ nilpotent, where $𝔫\left({𝔤}^e\right)$ is the normaliser in $𝔤$ of the centraliser ${𝔤}^e$ of $e$. More precisely, we have to show the following result, conjectured by D. Panyushev Panyushev (2003):

$$ind𝔫\left({𝔤}^e\right)=\mathrm{rk}𝔤-dim𝔷\left({𝔤}^e\right),$$

where $𝔷\left({𝔤}^e\right)$ is the centre of ${𝔤}^e$. Panyushev (2003) obtained the inequality $ind𝔫\left({𝔤}^e\right)\ge rg𝔤-dim𝔷\left({𝔤}^e\right)$ and we show that the maximality of the rank of a certain matrix with entries in the symmetric algebra $𝒮\left({𝔤}^e\right)$ implies the other inequality. The main part of this paper consists of the proof of the maximality of the rank of this matrix.

Classification : 22-04, 22E46, 22E60, 17B10, 17B20
Mot clés : indice, représentation, algèbre de Lie, normalisateur, centralisateur, élément nilpotent
Keywords: index, representation, Lie algebra, normaliser, centraliser, nilpotent element

[1] R. Brylinski & B. Kostant - « The variety of all invariant symplectic structures on a homogeneous space and normalisers of isotropy subgroups », Symplectic Geom. and Math. Physics 99 (1991), p. 80-113. | MR | Zbl

[2] -, « Nilpotent orbits, normality, and Hamiltonian groups actions », J. Amer. Math. Soc. 7 (1994), p. 269-298. | MR | Zbl

[3] J.-Y. Charbonnel - « Propriété $\left(Q\right)$ et $\left(C\right)$. Variété commutante », Bull. Soc. Math. France 132 (2004), p. 477-508. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[4] D. H. Collinwood & W. M. Macgovern - Nilpotent orbits in semisimple Lie algebra, Van Nostrand Reinhold Mathematics Series, Van Nostrand, 1992. | MR | Zbl

[5] G. Grélaud, C. Quitté & P. Tauvel - Bases de Chevalley et ${\mathrm{𝔰𝔩}}_2$-triplets des algèbres de Lie simples exceptionnelles, Université de Poitiers, 1980.

[6] J. F. Kurtzke - « Centralizers of irregular elements in reductive algebraic groups », Pacific J. Math. 104 (1983), p. 133-154. | MR | Zbl

[7] A. Moreau - Calculs explicites dans une algèbre de Lie semi-simple effectués avec GAP4, arXiv : math.RT/0503019, 2004.

[8] D. I. Panyushev - « The index of a Lie algrebra, the centraliser of a nilpotent element, and the normaliser of the centraliser », Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 134 (2003), p. 41-59. | MR | Zbl

[9] P. Tauvel & R. W. T. Yu - Lie algebras and algebraic groups, Springer-Verlag, 2005. | MR | Zbl