Indice du normalisateur du centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple

Moreau, Anne

Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 1, pp. 83-117.

The index of a complex Lie algebra is the minimal codimension of its coadjoint orbits. Let us suppose $𝔤$ semisimple, then its index, $ind𝔤$, is equal to its rank, $\mathrm{rk}𝔤$. The goal of this paper is to establish a simple general formula for the index of $𝔫\left({𝔤}^e\right)$, for $e$ nilpotent, where $𝔫\left({𝔤}^e\right)$ is the normaliser in $𝔤$ of the centraliser ${𝔤}^e$ of $e$. More precisely, we have to show the following result, conjectured by D. Panyushev Panyushev (2003):

$$ind𝔫\left({𝔤}^e\right)=\mathrm{rk}𝔤-dim𝔷\left({𝔤}^e\right),$$

where $𝔷\left({𝔤}^e\right)$ is the centre of ${𝔤}^e$. Panyushev (2003) obtained the inequality $ind𝔫\left({𝔤}^e\right)\ge rg𝔤-dim𝔷\left({𝔤}^e\right)$ and we show that the maximality of the rank of a certain matrix with entries in the symmetric algebra $𝒮\left({𝔤}^e\right)$ implies the other inequality. The main part of this paper consists of the proof of the maximality of the rank of this matrix.

L’indice d’une algèbre de Lie algébrique complexe est la codimension minimale de ses orbites coadjointes. Si $𝔤$ est semi-simple, son indice, $ind𝔤$, est égal à son rang, $rg𝔤$. Le but de cet article est d’établir une formule générale pour l’indice de $𝔫\left({𝔤}^e\right)$ pour $e$ nilpotent, où $𝔫\left({𝔤}^e\right)$ est le normalisateur dans $𝔤$ du centralisateur ${𝔤}^e$ de $e$. Plus précisément, on obtient le résultat suivant, conjecturé par D. Panyushev :

$$ind𝔫\left({𝔤}^e\right)=rg𝔤-dim𝔷\left({𝔤}^e\right),$$

où $𝔷\left({𝔤}^e\right)$ est le centre de ${𝔤}^e$. Panyushev obtient l’inégalité $ind𝔫\left({𝔤}^e\right)\ge rg𝔤-dim𝔷\left({𝔤}^e\right)$ dans Panyushev 2003 et on montre que la maximalité du rang d’une certaine matrice à coefficients dans l’algèbre symétrique $𝒮\left({𝔤}^e\right)$ implique l’autre inégalité. L’article consiste pour une large part en la preuve de la maximalité du rang de cette matrice.

[1] R. Brylinski & B. Kostant - « The variety of all invariant symplectic structures on a homogeneous space and normalisers of isotropy subgroups », Symplectic Geom. and Math. Physics 99 (1991), p. 80-113. | MR | Zbl

[2] -, « Nilpotent orbits, normality, and Hamiltonian groups actions », J. Amer. Math. Soc. 7 (1994), p. 269-298. | MR | Zbl

[3] J.-Y. Charbonnel - « Propriété $\left(Q\right)$ et $\left(C\right)$. Variété commutante », Bull. Soc. Math. France 132 (2004), p. 477-508. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[4] D. H. Collinwood & W. M. Macgovern - Nilpotent orbits in semisimple Lie algebra, Van Nostrand Reinhold Mathematics Series, Van Nostrand, 1992. | MR | Zbl

[5] G. Grélaud, C. Quitté & P. Tauvel - Bases de Chevalley et ${\mathrm{𝔰𝔩}}_2$-triplets des algèbres de Lie simples exceptionnelles, Université de Poitiers, 1980.

[6] J. F. Kurtzke - « Centralizers of irregular elements in reductive algebraic groups », Pacific J. Math. 104 (1983), p. 133-154. | MR | Zbl

[7] A. Moreau - Calculs explicites dans une algèbre de Lie semi-simple effectués avec GAP4, arXiv : math.RT/0503019, 2004.

[8] D. I. Panyushev - « The index of a Lie algrebra, the centraliser of a nilpotent element, and the normaliser of the centraliser », Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 134 (2003), p. 41-59. | MR | Zbl

[9] P. Tauvel & R. W. T. Yu - Lie algebras and algebraic groups, Springer-Verlag, 2005. | MR | Zbl