Indice du normalisateur du centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple

L’indice d’une algèbre de Lie algébrique complexe est la codimension minimale de ses orbites coadjointes. Si $𝔤$ est semi-simple, son indice, $ind𝔤$, est égal à son rang, $rg𝔤$. Le but de cet article est d’établir une formule générale pour l’indice de $𝔫\left({𝔤}^e\right)$ pour $e$ nilpotent, où $𝔫\left({𝔤}^e\right)$ est le normalisateur dans $𝔤$ du centralisateur ${𝔤}^e$ de $e$. Plus précisément, on obtient le résultat suivant, conjecturé par D. Panyushev :

$$ind𝔫\left({𝔤}^e\right)=rg𝔤-dim𝔷\left({𝔤}^e\right),$$

où $𝔷\left({𝔤}^e\right)$ est le centre de ${𝔤}^e$. Panyushev obtient l’inégalité $ind𝔫\left({𝔤}^e\right)\ge rg𝔤-dim𝔷\left({𝔤}^e\right)$ dans Panyushev 2003 et on montre que la maximalité du rang d’une certaine matrice à coefficients dans l’algèbre symétrique $𝒮\left({𝔤}^e\right)$ implique l’autre inégalité. L’article consiste pour une large part en la preuve de la maximalité du rang de cette matrice.

The index of a complex Lie algebra is the minimal codimension of its coadjoint orbits. Let us suppose $𝔤$ semisimple, then its index, $ind𝔤$, is equal to its rank, $\mathrm{rk}𝔤$. The goal of this paper is to establish a simple general formula for the index of $𝔫\left({𝔤}^e\right)$, for $e$ nilpotent, where $𝔫\left({𝔤}^e\right)$ is the normaliser in $𝔤$ of the centraliser ${𝔤}^e$ of $e$. More precisely, we have to show the following result, conjectured by D. Panyushev Panyushev (2003):

$$ind𝔫\left({𝔤}^e\right)=\mathrm{rk}𝔤-dim𝔷\left({𝔤}^e\right),$$

where $𝔷\left({𝔤}^e\right)$ is the centre of ${𝔤}^e$. Panyushev (2003) obtained the inequality $ind𝔫\left({𝔤}^e\right)\ge rg𝔤-dim𝔷\left({𝔤}^e\right)$ and we show that the maximality of the rank of a certain matrix with entries in the symmetric algebra $𝒮\left({𝔤}^e\right)$ implies the other inequality. The main part of this paper consists of the proof of the maximality of the rank of this matrix.

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