Sur la persistance des courbes invariantes pour les dynamiques holomorphes fibrées lisses

Ponce, Mario

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 138 (2010) no. 2, pp. 153-180.

En s’appuyant sur un théorème des fonctions implicites de Hamilton, nous montrons la persistance d’une courbe invariante indifférente pour une dynamique holomorphe fibrée de classe $C^{\infty }$. Une condition diophantienne sur la paire de nombres de rotation est demandée. On montre également que cette condition est optimale.

We establish the persistence of an invariant curve for a smooth fibered holomorphic dynamical system, provided that a diophantine condition for the pair of rotation numbers holds. We also show that this diophantine condition is optimal. Our proof relies on Hamilton's implicit function Theorem.

Classification : 37F50, 37J40
Mot clés : dynamique holomorphe fibrée, condition diophantienne, courbes invariantes
Keywords: fibred holomorphic dynamics, diophantine condition, invariant curves

[1] A. Avila & R. Krikorian - « Reducibility or nonuniform hyperbolicity for quasiperiodic Schrödinger cocycles », Ann. of Math. 164 (2006), p. 911-940. | MR | Zbl

[2] J.-B. Bost - « Tores invariants des systèmes dynamiques hamiltoniens (d'après Kolmogorov, Arnolʼd, Moser, Rüssmann, Zehnder, Herman, Pöschel,...) », Séminaire Bourbaki, vol. 1984/85, Astérisque 133-134 (1986), p. 113-157. | Numdam | MR | Zbl

[3] J. Bourgain - « On Melnikov's persistency problem », Math. Res. Lett. 4 (1997), p. 445-458. | MR | Zbl

[4] L. Carleson & T. W. Gamelin - Complex dynamics, Universitext, Springer, 1993. | MR | Zbl

[5] J. W. S. Cassels - An introduction to Diophantine approximation, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No. 45, Cambridge Univ. Press, 1957. | MR | Zbl

[6] L. H. Eliasson - « Perturbations of stable invariant tori for Hamiltonian systems », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 15 (1988), p. 115-147. | Numdam | MR | Zbl

[7] R. S. Hamilton - « The inverse function theorem of Nash and Moser », Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 7 (1982), p. 65-222. | MR | Zbl

[8] M.-R. Herman - « Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations », Publ. Math. I.H.É.S. 49 (1979), p. 5-233. | Numdam | MR | Zbl

[9] -, « Sur les courbes invariantes par les difféomorphismes de l'anneau. Vol. 1 », Astérisque 103 (1983).

[10] -, « Une méthode pour minorer les exposants de Lyapounov et quelques exemples montrant le caractère local d’un théorème d’Arnolʼd et de Moser sur le tore de dimension $2$ », Comment. Math. Helv. 58 (1983), p. 453-502. | MR | Zbl

[11] -, « Simple proofs of local conjugacy theorems for diffeomorphisms of the circle with almost every rotation number », Bol. Soc. Brasil. Mat. 16 (1985), p. 45-83. | MR | Zbl

[12] L. Hörmander - « The boundary problems of physical geodesy », Arch. Rational Mech. Anal. 62 (1976), p. 1-52. | MR | Zbl

[13] T. H. Jäger & G. Keller - « The Denjoy type of argument for quasiperiodically forced circle diffeomorphisms », Ergodic Theory Dynam. Systems 26 (2006), p. 447-465. | MR | Zbl

[14] R. Johnson & J. Moser - « The rotation number for almost periodic potentials », Comm. Math. Phys. 84 (1982), p. 403-438. | MR | Zbl

[15] M. Jonsson - « Dynamics of polynomial skew products on ${𝐂}^2$ », Math. Ann. 314 (1999), p. 403-447. | MR | Zbl

[16] -, « Ergodic properties of fibered rational maps », Ark. Mat. 38 (2000), p. 281-317. | MR | Zbl

[17] A. Katok & B. Hasselblatt - Introduction to the modern theory of dynamical systems, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 54, Cambridge Univ. Press, 1995. | MR | Zbl

[18] Y. Katznelson - An introduction to harmonic analysis, 3e éd., Cambridge Mathematical Library, Cambridge Univ. Press, 2004. | MR | Zbl

[19] R. Krikorian - « Réductibilité des systèmes produits-croisés à valeurs dans des groupes compacts », Astérisque 259 (1999). | Numdam | MR | Zbl

[20] S. Lang - Introduction to diophantine approximations, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., 1966. | MR | Zbl

[21] E. L. Lima - Curso de análise, vol. 2, Projeto Euclides. IMPA, CNPq, 1981. | Zbl

[22] V. K. MelʼNikov - « On certain cases of conservation of almost periodic motions with a small change of the Hamiltonian function », Dokl. Akad. Nauk SSSR 165 (1965), p. 1245-1248. | MR | Zbl

[23] M. Ponce - « Local dynamics for fibred holomorphic transformations », Nonlinearity 20 (2007), p. 2939-2955. | MR | Zbl

[24] -, « On the persistence of invariant curves for fibered holomorphic transformations », 2009. | Zbl

[25] W. M. Schmidt - Diophantine approximation, Lecture Notes in Math., vol. 785, Springer, 1980. | MR | Zbl

[26] F. Sergeraert - « Un théorème de fonctions implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications », Ann. Sci. École Norm. Sup. 5 (1972), p. 599-660. | Numdam | MR | Zbl

[27] O. Sester - « Étude dynamique des polynômes fibrés », Thèse, Université de Paris-Sud, 1997.

[28] -, « Hyperbolicité des polynômes fibrés », Bull. Soc. Math. France 127 (1999), p. 393-428. | Numdam | Zbl

[29] J. Stark - « Transitive sets for quasi-periodically forced monotone maps », Dyn. Syst. 18 (2003), p. 351-364. | MR | Zbl

[30] M. Viana - « Multidimensional nonhyperbolic attractors », Publ. Math. I.H.É.S. 85 (1997), p. 63-96. | MR | Zbl

[31] J.-C. Yoccoz - « Théorème de Siegel, nombres de Bruno et polynômes quadratiques », Astérisque 231 (1995), p. 3-88. | Numdam | MR

[32] -, « Analytic linearization of circle diffeomorphisms », in Dynamical systems and small divisors (Cetraro, 1998), Lecture Notes in Math., vol. 1784, Springer, 2002, p. 125-173. | MR