Un complexe de Koszul de modules instables et cohomotopie d'un spectre de Thom

Dang Ho Hai, Nguyen

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 140 (2012) no. 2, pp. 257-308.

Dans [8], les auteurs ont construit une résolution injective minimale d'un module instable dans la catégorie des modules instables modulo $2$. A partir de cette résolution, un résultat de type conjecture de Segal a été obtenu pour un certain spectre de Thom. Le but de cet article est de refaire ces résultats pour les premiers impairs. Etant donné un premier impair $p$, on construit dans ce travail un complexe de Koszul dans la catégorie des modules instables sur l’algèbre de Steenrod modulo $p$. Une résolution injective d’un module instable intéressant est obtenue comme cas particulier de ce complexe de Koszul. Ce module instable est la cohomologie modulo $p$ d’un spectre de Thom qui apparaît (à $p$-complétion près) comme l’un des fibres homotopiques non contractiles dans la tour de Goodwillie du foncteur identité évaluée en la sphère $S^3$. Comme application de cette résolution injective, on calcule quelques groupes de cohomotopie de ce spectre à l’aide du travail de S. Zarati [24] sur les foncteurs dérivés du foncteur de déstabilisation.

We constructed in [8] a minimal injective resolution of an unstable module over the modulo $2$ Steenrod algebra. From this resolution, a Segal conjecture-type result was obtained for a certain Thom spectrum. In this paper we propose to study similar problems modulo odd primes. Given $p$ an odd prime, we construct in this work a Koszul complex in the category of unstable modules over the mod $p$ Steenrod algebra. An injective resolution of an interesting unstable module is obtained as a special case of this Koszul complex. This unstable module is the mod $p$ cohomology of a Thom spectrum used in the description of the layers of the Goodwillie tower of the identity functor evaluated on the sphere $S^3$. As an application of the injective resolution, we compute some cohomotopy groups of the Thom spectrum using work of S. Zarati [24] on the derived functors of the destabilisation functor.

[1] J. F. Adams, J. H. Gunawardena & H. Miller - « The Segal conjecture for elementary abelian $p$-groups », Topology 24 (1985), p. 435-460. | MR | Zbl

[2] G. Z. Arone & W. G. Dwyer - « Partition complexes, Tits buildings and symmetric products », Proc. London Math. Soc. 82 (2001), p. 229-256. | MR | Zbl

[3] G. Z. Arone & M. Mahowald - « The Goodwillie tower of the identity functor and the unstable periodic homotopy of spheres », Invent. Math. 135 (1999), p. 743-788. | MR | Zbl

[4] H. E. A. Campbell & P. S. Selick - « Polynomial algebras over the Steenrod algebra », Comment. Math. Helv. 65 (1990), p. 171-180. | MR | Zbl

[5] H. Cartan & S. Eilenberg - Homological algebra, Princeton Univ. Press, 1956. | MR | Zbl

[6] L. E. Dickson - « A fundamental system of invariants of the general modular linear group with a solution of the form problem », Trans. Amer. Math. Soc. 12 (1911), p. 75-98. | JFM | MR

[7] T. G. Goodwillie - « Calculus. III. Taylor series », Geom. Topol. 7 (2003), p. 645-711. | MR | Zbl

[8] N. D. H. Hai, L. Schwartz & T. N. Nam - « La fonction génératrice de Minc et une “conjecture de Segal” pour certains spectres de Thom », Adv. Math. 225 (2010), p. 1431-1460. | MR | Zbl

[9] N. J. Kuhn - « The modular Hecke algebra and Steinberg representation of finite Chevalley groups », J. Algebra 91 (1984), p. 125-141. | MR | Zbl

[10] -, « Chevalley group theory and the transfer in the homology of symmetric groups », Topology 24 (1985), p. 247-264. | MR | Zbl

[11] -, « The rigidity of $L\left(n\right)$ », in Algebraic topology (Seattle, Wash., 1985), Lecture Notes in Math., vol. 1286, Springer, 1987, p. 286-292. | MR | Zbl

[12] J. Lannes - « Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d’un $p$-groupe abélien élémentaire », Publ. Math. I.H.É.S. 75 (1992), p. 135-244. | Numdam | MR | Zbl

[13] J. Lannes & L. Schwartz - « Sur la structure des $A$-modules instables injectifs », Topology 28 (1989), p. 153-169. | MR | Zbl

[14] J. Lannes & S. Zarati - « Sur les $𝒰$-injectifs », Ann. Sci. École Norm. Sup. 19 (1986), p. 303-333. | Numdam | MR | Zbl

[15] C. Löfwall - « On the subalgebra generated by the one-dimensional elements in the Yoneda Ext-algebra », Lecture Notes in Math. 1183 (1986), p. 291-338. | MR | Zbl

[16] P. A. Minh & V. T. Tùng - « Modular invariants of parabolic subgroups of general linear groups », J. Algebra 232 (2000), p. 197-208. | MR | Zbl

[17] S. A. Mitchell & S. B. Priddy - « Stable splittings derived from the Steinberg module », Topology 22 (1983), p. 285-298. | MR | Zbl

[18] H. Mùi - « Modular invariant theory and cohomology algebras of symmetric groups », J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 22 (1975), p. 319-369. | MR | Zbl

[19] -, « Cohomology operations derived from modular invariants », Math. Z. 193 (1986), p. 151-163. | MR | Zbl

[20] A. Polishchuk & L. Positselski - Quadratic algebras, University Lecture Series, vol. 37, Amer. Math. Soc., 2005. | MR | Zbl

[21] S. B. Priddy - « Koszul resolutions », Trans. Amer. Math. Soc. 152 (1970), p. 39-60. | MR | Zbl

[22] L. Schwartz - Unstable modules over the Steenrod algebra and Sullivan's fixed point set conjecture, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 1994. | MR | Zbl

[23] R. Steinberg - « Prime power representations of finite linear groups », Canad. J. Math. 8 (1956), p. 580-591. | MR | Zbl

[24] S. Zarati - « Dérivés du foncteur de déstabilisation en caractéristique impaire et applications », thèse de doctorat, Université Paris-Sud (Orsay), 1984.