Specialization to the tangent cone and Whitney equisingularity

Giles Flores, Arturo

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 141 (2013) no. 2, pp. 299-342.

Soit $(X,0)$ un germe de singularité analytique complexe, réduit et équidimensionel tel que son cône tangent $(C_{X,0},0)$ est réduit. On montre que l’absence des cônes exceptionnels est une condition nécessaire et suffisante pour que la partie lisse ${𝔛}^0$ de la spécialisation sur le cône tangent $\varphi :𝔛\to ℂ$ satisfasse les conditions de Whitney le long l’axe des paramètres $Y$. Ce résultat est un premier pas vers la généralisation aux dimensions supérieures du résultat de Lê et Teissier pour les hypersurfaces de ${ℂ}^3$ qui établit la équisingularité à la Whitney de $X$ et son cône tangent sous ces conditions.

Let $(X,0)$ be a reduced, equidimensional germ of an analytic singularity with reduced tangent cone $(C_{X,0},0)$. We prove that the absence of exceptional cones is a necessary and sufficient condition for the smooth part ${𝔛}^0$ of the specialization to the tangent cone $\varphi :𝔛\to ℂ$ to satisfy Whitney’s conditions along the parameter axis $Y$. This result is a first step in generalizing to higher dimensions Lê and Teissier’s result for hypersurfaces of ${ℂ}^3$ which establishes the Whitney equisingularity of $X$ and its tangent cone under these conditions.

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