Nondegeneracy conditions need to be imposed in K.A.M. theorems to insure that the set of diophantine tori has a large measure. Although they are usually expressed in action coordinates, it is possible to give a geometrical formulation using the notion of regular completely integrable systems defined by a fibration of a symplectic manifold by lagrangian tori together with a Hamiltonian function constant on the fibers. In this paper, we give a geometrical definition of different nondegeneracy conditions, we show the implication relations that exist between them, and we show the uniqueness of the fibration for non-degenerate Hamiltonians.
Dans les théorèmes de type K.A.M., on doit imposer des conditions de non-dégénérescence pour assurer que l’ensemble des tores diophantiens a une grande mesure. Elles sont habituellement présentées en coordonnées actions, mais il est possible d’en donner une formulation géométrique en considérant des systèmes complètement intégrables définis par la donnée d’une fibration d’une variété symplectique par des tores lagrangiens et d’un Hamiltonien constant sur les fibres. Dans cet article, nous donnons une définition géométrique de différentes conditions de non-dégénérescence, nous montrons les différentes relations d’implication qui existent entre elles, et nous montrons l’unicité de la fibration pour les Hamiltoniens non-dégénérés.
@article{AFST_2006_6_15_2_383_0, author = {Roy, Nicolas}, title = {The geometry of nondegeneracy conditions in completely integrable systems (corrected version of fascicule 4, volume {XIV,} 2005, p.~705-719)}, journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques}, pages = {383--397}, publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Institut de math\'ematiques}, address = {Toulouse}, volume = {Ser. 6, 15}, number = {2}, year = {2006}, doi = {10.5802/afst.1125}, zbl = {1092.37033}, mrnumber = {2244221}, language = {en}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/afst.1125/} }
TY - JOUR AU - Roy, Nicolas TI - The geometry of nondegeneracy conditions in completely integrable systems (corrected version of fascicule 4, volume XIV, 2005, p. 705-719) JO - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques PY - 2006 SP - 383 EP - 397 VL - 15 IS - 2 PB - Université Paul Sabatier, Institut de mathématiques PP - Toulouse UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/afst.1125/ DO - 10.5802/afst.1125 LA - en ID - AFST_2006_6_15_2_383_0 ER -
%0 Journal Article %A Roy, Nicolas %T The geometry of nondegeneracy conditions in completely integrable systems (corrected version of fascicule 4, volume XIV, 2005, p. 705-719) %J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques %D 2006 %P 383-397 %V 15 %N 2 %I Université Paul Sabatier, Institut de mathématiques %C Toulouse %U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/afst.1125/ %R 10.5802/afst.1125 %G en %F AFST_2006_6_15_2_383_0
Roy, Nicolas. The geometry of nondegeneracy conditions in completely integrable systems (corrected version of fascicule 4, volume XIV, 2005, p. 705-719). Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 15 (2006) no. 2, pp. 383-397. doi : 10.5802/afst.1125. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/afst.1125/
[1] A theorem of Liouville concerning integrable dynamics, Siberizn Math. J., Volume 4 (1963), pp. 471-474 | MR | Zbl
[2] Local Methods in nonlinear differential equations, Springer-Verlag, 1989 | MR | Zbl
[3] Topologie Générale, Presses Universitaires de France, 1981 | MR | Zbl
[4] Global action-angle coordinates, Comm. Pure App. Math., Volume 32 (1980), pp. 687-706 | MR | Zbl
[5] On conservation of conditionally periodic motions for a small change in Hamilton’s function, Dokl. Akad. Nauk. SSSR, Volume 98 (1954) no. 4, pp. 527-530 | MR | Zbl
[6] Note sur l’intégration des équations différentielles de la dynamique, J. Math. Pure App., Volume 20 (1855), pp. 137-138
[7] Réduction des systèmes mécaniques à degrés de libertés admettant intégrales premières uniformes en involution aux systèmes à variables séparées, J. Math. Pure Appl., Volume 15 (1936), pp. 221-267 | Numdam | Zbl
[8] Nondegeneracy in the perturbation theory of integrable dynamical systems, Number theory and dynamical systems (York, 1987) (Lecture Note Ser.), Volume 134, London Math. Soc., Cambridge, 1989, pp. 5-18 | MR | Zbl
[9] Symplectic manifolds and their lagrangian subamnifolds, Adv. in Math., Volume 6 (1971), pp. 329-346 | MR | Zbl
[10] Lagrangian submanifolds and hamiltonian systems, Ann. of Math., Volume 98 (1973), pp. 377-410 | MR | Zbl
Cited by Sources: