Extension of the Two-Variable Pierce-Birkhoff conjecture to generalized polynomials

Delzell, Charles N.

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. S1, pp. 37-56.

En 1984, L. Mahé, et indépendammant G. Efroymson, ont prouvé le cas où $n\le 2$ de la conjecture de Pierce-Birkhoff (1956) : une fonction $h:{ℝ}^n\to ℝ$ continue polynomiale par morceaux peut s’écrire comme ${sup}_i{inf}_j{f}_{ij}$, pour une collection finie de polynômes $f_{ij}\in ℝ[x_1,...,x_n]$. (Un exemple simple est $h\left(x_1\right)=\left|x_1\right|=sup\{x_1,-x_1\}$.) La conjecture reste ouverte pour $n\ge 3$. Dans cet article, nous prouvons (encore pour $n\le 2$) un résultat analogue pour « polynômes généralisés », où les exposants peuvent être des nombres réels arbitraires, et non pas seulement des nombres naturels ; dans cette version, nous limitons le domaine à l’orthant positif, où chaque $x_i>0$.

Let $h:{ℝ}^n\to ℝ$ be a continuous, piecewise-polynomial function. The Pierce-Birkhoff conjecture (1956) is that any such $h$ is representable in the form ${sup}_i{inf}_j{f}_{ij}$, for some finite collection of polynomials $f_{ij}\in ℝ[x_1,...,x_n]$. (A simple example is $h\left(x_1\right)=\left|x_1\right|=sup\{x_1,-x_1\}$.) In 1984, L. Mahé and, independently, G. Efroymson, proved this for $n\le 2$; it remains open for $n\ge 3$. In this paper we prove an analogous result for “generalized polynomials” (also known as signomials), i.e., where the exponents are allowed to be arbitrary real numbers, and not just natural numbers; in this version, we restrict to the positive orthant, where each $x_i>0$. As before, our methods work only for $n\le 2$.

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[Delzell, 2005] C. Delzell, “Suprema of infima of generalized rational functions,” Abstract of a talk presented in: “Workshop: Real algebra, quadratic forms and model theory; algorithms and applications, November 2–9, 2005,” held during and as part of the Special Trimester on Real Geometry (September–December 2005), Centre Emile Borel, Institut Henri Poincaré, Paris. (Abstract published in the Workshop program: http://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/Borel/w1prog.html; see also http://www.ihp.jussieu.fr/ceb/Trimestres/T05-3/C1/index.html.)

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[Sturm, 1829] C. Sturm, “Extrait d’un Mémoire de M. Sturm, presenté à l’Académie des sciences, dans un séance du I${}^{\mathrm{er}}$ juin 1829,” Bulletin des Sciences Mathématiques, Physiques, et Chimiques, 1${}^{\mathrm{re}}$ Section du Bulletin Universel, publié sous les auspices de Monseigneur le Dauphin, par la Société pour la Propagation des Connaissances Scientifiques et Industrielles, et sous la Direction de M. Le Baron de Férussac, Paris, Vol. 11 (1829), article # 272, pp. 422–5.