From averaged to simultaneous controllability
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 25 (2016) no. 4, pp. 785-828.

Nous considérons un système de contrôle linéaire de dimension finie dépendant de paramètres inconnus. L’objectif est de construire des contrôles indépendants des paramètres afin de contrôler le système en un sens optimal. Nous discutons la notion de contrôle moyenné, dont le but est de contrôler seulement la moyenne des états par rapport aux paramètres, ainsi que la notion de contrôle simultané, dont l’objectif est de contrôler pour chaque paramètre l’état du système associé à ce paramètre. Nous montrerons que ces deux notions peuvent être connectées par le biais d’un processus de pénalisation. Plus précisément, la propriété de contrôlabilité en moyenne est une relaxation de la propriété de contrôlabilité simultanée. Pour la notion de contrôlabilité en moyenne les écarts entre les états par rapport aux paramètres sont laissés libres tandis que ces derniers sont forcés pour la notions de contrôlabilité simultanée. Afin de relier le contrôle moyenné au contrôle simultané, ce seront ces écarts qui seront pénalisés. Cependant, ces deux notions de contrôle requièrent différentes conditions sur les rangs des matrices déterminant la dynamique du système et le contrôle. Lorsque la condition de rang pour le contrôle simultané est satisfaite, nous montrerons que le contrôle simultané peut être obtenu à partir du contrôle moyenné, comme limite de ce processus de pénalisation.

We consider a linear finite dimensional control system depending on unknown parameters. We aim to design controls, independent of the parameters, to control the system in some optimal sense. We discuss the notions of averaged control, according to which one aims to control only the average of the states with respect to the unknown parameters, and the notion of simultaneous control in which the goal is to control the system for all values of these parameters. We show how these notions are connected through a penalization process. Roughly, averaged control is a relaxed version of the simultaneous control property, in which the differences of the states with respect to the various parameters are left free, while simultaneous control can be achieved by reinforcing the averaged control property by penalizing these differences. We show however that these two notions require of different rank conditions on the matrices determining the dynamics and the control. When the stronger conditions for simultaneous control are fulfilled, one can obtain the later as a limit, through this penalization process, out of the averaged control property.

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DOI : 10.5802/afst.1511
Lohéac, Jérôme 1 ; Zuazua, Enrique 2

1 LUNAM Université, IRCCyN UMR CNRS 6597 (Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes), École des Mines de Nantes, 4 rue Alfred Kastler, 44307 Nantes - France
2 Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma de Madrid, Cantoblanco, 28049 Madrid - Spain
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[1] Boyer (F.).— On the penalised hum approach and its applications to the numerical approximation of null-controls for parabolic problems. ESAIM: Proc., 41, p. 15-58 (2013). | DOI | MR | Zbl

[2] Fernández (L. A.) and Zuazua (E.).— Approximate controllability for the semilinear heat equation involving gradient terms. J. Optim. Theory Appl., 101(2), p. 307-328 (1999). | DOI | MR | Zbl

[3] Helmke (U.) and Schönlein (M.).— Uniform ensemble controllability for one-parameter families of timeinvariant linear systems. Syst. Control Lett., 71, p. 69-77 (2014). | DOI | MR | Zbl

[4] Lazar (M.) and Zuazua (E.).— Averaged control and observation of parameter-depending wave equations. C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 352(6), p. 497-502 (2014). | DOI | MR | Zbl

[5] Li (J.-S.).— Ensemble control of finite-dimensional time-varying linear systems. IEEE Trans. Automat. Control, 56(2), p. 345-357 (2011). | DOI | MR | Zbl

[6] Li (J.-S.) and Khaneja (N.).— Ensemble control of Bloch equations. IEEE Trans. Automat. Control, 54(3), p. 528-536 (2009). | DOI | MR | Zbl

[7] Lions (J.-L.).— Controlabilité exacte, perturbations et stabilisation de systèmes distribués. Tome 1, volume 8 of Recherches en Mathématiques Appliquées [Research in Applied Mathematics]. Masson, Paris, 1988. Controlabilité exacte. [Exact controllability], With appendices by E. Zuazua, C. Bardos, G. Lebeau and J. Rauch. | DOI

[8] Lions (J.-L.).— Remarques sur la controlâbilité approchée. In Spanish-French Conference on Distributed-Systems Control (Spanish) (Málaga, 1990), p. 77-87. Univ. Málaga, Málaga (1990). | Zbl

[9] Lohéac (J.) and Zuazua (E.).— Averaged controllability of parameter dependent wave equations. submitted, Mar. 2015. | DOI | MR

[10] Petersen (I. R.).— A notion of possible controllability for uncertain linear systems with structured uncertainty. Automatica J. IFAC, 45(1), p. 134-141 (2009). | DOI | MR | Zbl

[11] Russell (D. L.).— The Dirichlet-Neumann boundary control problem associated with Maxwell’s equations in a cylindrical region. SIAM J. Control Optim., 24(2), p. 199-229 (1986). | DOI | MR | Zbl

[12] Savkin (A. V.) and Petersen (I. R.).— Uncertainty-averaging approach to output feedback optimal guaranteed cost control of uncertain systems. J. Optim. Theory Appl., 88(2), p. 321-337 (1996). | DOI | MR | Zbl

[13] Schirmer (S. G.), Pullen (I. C. H.), and Solomon (A. I.).— Controllability of multi-partite quantum systems and selective excitation of quantum dots. Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics, 7(10), S293 (2005). | DOI

[14] Schwartz (L.).— Étude des sommes d’exponentielles réelles. Actualités scientifiques et industrielles. 959. Paris: Hermann & Cie. 89 p. (1943).

[15] Trélat (E.).— Contrôle optimal. Mathḿatiques Concrètes. [Concrète Mathematics]. Vuibert, Paris, 2005. Théorie & applications.

[16] Triggiani (R.).— Controllability and observability in banach space with bounded operators. SIAM Journal on Control, 13(2), p. 462-491 (1975). | DOI

[17] Turinici (G.) and Rabitz (H.).— Optimally controlling the internal dynamics of a randomly oriented ensemble of molecules. Phys. Rev. A, 70:063412, Dec 2004. | DOI

[18] Ugrinovskii (V. A.)pointir Robust controllability of linear stochastic uncertain systems. Automatica J. IFAC, 41(5), p. 807-813 (2005). | DOI | MR | Zbl

[19] Zuazua (E.).— Averaged control. Automatica, 50(12), p. 3077-3087 (2014). | DOI | MR | Zbl

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