Infinis morphismes de Leibniz pour les crochets dérivés

Laurent-Gengoux, Camille; Masmoudi, Mohsen

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 30 (2021) no. 1, pp. 1-31.

Il est connu que le crochet dérivé d’un élément de Maurer–Cartan d’une algèbre de Lie différentielle graduée (DGLA) définit une algèbre de Leibniz différentielle graduée. Il est connu aussi qu’un morphisme de Lie-infini entre DGLAs envoie un élément de Maurer–Cartan sur un autre élément de Maurer–Cartan. Étant donnés un morphisme Lie-infini, un élément de Maurer–Cartan et son image, nous construisons entre leurs algèbres de Leibniz différentielles graduées un morphisme de Leibniz infini, et ce de façon totalement explicite. Nous utilisons cette construction pour retrouver une formule de Dominique Manchon à propos du commutateur du produit-étoile.

The derived bracket of a Maurer–Cartan element in a differential graded Lie algebra (DGLA) is well-known to define a differential graded Leibniz algebra. It is also well-known that a Lie infinity morphism between DGLAs maps a Maurer–Cartan element to a Maurer–Cartan element. Given a Lie-infinity morphism, a Maurer–Cartan element and its image, we show that both derived differential graded Leibniz algebras are related by a Leibniz-infinity morphism, and we construct it explicitely. As an application, we recover a well-known formula of Dominique Manchon about the commutator of the star-product.

Mot clés : Algèbres de Leibniz, algèbre de Lie-infinies, formalité et quantification
Mots clés : Leibniz algebras, Lie-infinity algebras, formality and quantization

[1] Alexei Kotov, Thomas Strobl Communication personnelle

[2] Ammar, Mourad; Poncin, Norbert Coalgebraic approach to the Loday infinity category, stem differential for $2n$-ary graded and homotopy algebras, Ann. Inst. Fourier, Volume 60 (2010) no. 1, pp. 355-387 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[3] Arnal, Didier; Manchon, Dominique; Masmoudi, Mohsen Choix des signes pour la formalité de M. Kontsevich, Pac. J. Math., Volume 203 (2002) no. 1, pp. 23-66 | DOI | Zbl

[4] Kontsevich, Maxim Deformation quantization of Poisson manifolds, Lett. Math. Phys., Volume 66 (2003) no. 3, pp. 157-216 | DOI | MR | Zbl

[5] Kosmann-Schwarzbach, Yvette Derived brackets, Lett. Math. Phys., Volume 69 (2004), pp. 61-87 | DOI | MR | Zbl

[6] Laurent-Gengoux, Camille; Pichereau, Anne; Vanhaecke, Pol Poisson structures, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 347, Springer, 2013, xxiv+461 pages | Zbl

[7] Livernet, Muriel Homotopie rationnelle des algèbres de Leibniz, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 325 (1997) no. 8, pp. 819-823 | DOI | MR | Zbl

[8] Loday, Jean-Louis Cyclic homology, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 301, Springer, 1992, xviii+454 pages (Appendix E by María O. Ronco) | MR | Zbl

[9] Loday, Jean-Louis Une version non commutative des algèbres de Lie : les algèbres de Leibniz, Enseign. Math., Volume 39 (1993) no. 3-4, pp. 269-293 | MR | Zbl

[10] Loday, Jean-Louis; Pirashvili, Teimuraz Universal enveloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology, Math. Ann., Volume 296 (1993) no. 1, pp. 139-158 | DOI | MR | Zbl

[11] Loday, Jean-Louis; Vallette, Bruno Algebraic operads, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 346, Springer, 2012, xxiv+634 pages | MR | Zbl

[12] Manchon, Dominique Poisson bracket, deformed bracket and gauge group actions in Kontsevich deformation quantization, Lett. Math. Phys., Volume 52 (2000) no. 4, pp. 301-310 | DOI | MR | Zbl

[13] Vallette, Bruno Homotopy Theory Of Homotopy Algebras (https://arxiv.org/abs/1411.5533) | MR | Zbl