Indice d’un opérateur différentiel $p$-adique IV. Cas des systèmes. Mesure de l’irrégularité dans un disque

Robba, Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) no. 2, pp. 13-55.

Nous désirons savoir si l’opérateur différentiel d’ordre $1,\frac{d}{dx}+G$, où $G$ est une $k\times k$ matrice à coefficients rationnels, a un indice dans l’espace des fonctions analytiques dans une boule; dans le cas où cet indice existe nous voulons aussi le calculer. Dans le cas où $k=1$ nous montrons l’existence d’un indice (si l’exposant de l’opérateur n’est pas Liouville $p$-adique) et nous montrons comment calculer cet indice. De même nous savons montrer l’existence d’un indice et comment calculer cet indice lorsque le système est équivalent à un système triangulaire. Nous interprétons cet indice en terme d’irrégularité globale de l’opérateur différentiel dans une boule dans le cas où l’opérateur est “complètement soluble”.

We are interested in showing that the differential operator of order $1,\frac{d}{dx}+G$, where $G$ is a $k\times k$ matrix with rational coefficients, has an index in the space of functions analytic in a ball; we then wish to compute this index. In the case $k=1$, we show that this index exists (provided that the exponent of the differential operator in the ball is not a $p$-adic Liouville number) and we indicate how to compute this index. We can also show existence of index and compute this index when the system is equivalent to a triangular system. We give an interpretation of that index in term of the global irregularity of the differential operator in the ball.

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