Problèmes sur les formes différentielles et les courants

Norguet, François

Annales de l'Institut Fourier, Tome 11 (1961), pp. 1-82.

Chapitre I.$-$ Convolution des courants dans les variétés indéfiniment différentiables. Si $X,Y,Z$ sont des variétés indéfiniment différentiables, et $f$ une application indéfiniment différentiable de $X\times Y$ dans $Z$, deux notions naturelles de convolution sont introduites, faisant correspondre chacune, à un courant $S$ dans $X$ et à un courant $T$ dans $Y$, un courant dans $Z$ ; la convolution de première espèce est parfaitement déterminée par les données ci-dessus ; la convolution de seconde espèce dépend en outre du choix d’une certaine forme différentielle $\alpha$ dans $X\times Y$. Les propriétés de ces deux opérations, liées à celles du produit tensoriel, se complètent mutuellement.

Chapitre II.$-$ Convolution des courants dans l’espace euclidien ${\mathbf{R}}^n$. Les variétés $X,Y,Z$ sont identiques à ${\mathbf{R}}^n$, l’application $f$ est définie par

$$f(x,y)=x+y;$$

si la forme $\alpha$ est convenablement choisie, les deux convolutions sont adjointes par rapport à la métrique naturelle de ${\mathbf{R}}^n$. Cette situation est d’abord axiomatisée, puis la convolution des courants est rattachée à celle des distributions, et diverses propriétés sont établies, en particulier une formule intégrale qui relie la convolution à certaines notions topologiques.

Chapitre III.$-$ Des conditions suffisantes, d’abord algébriques, puis analytiques, sont données pour que la proposition suivante soit vraie : si ${\omega }_1,...,{\omega }_p$ sont des formes différentielles linéaires, et si $\alpha$ est une forme différentielle vérifiant la relation ${\omega }_1\wedge {\omega }_2\wedge ...\wedge {\omega }_p\wedge \alpha =0$, il existe des formes différentielles ${\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_p$ telles que l’on ait

$$\alpha ={\omega }_1\wedge {\beta }_1+\cdots +{\omega }_p\wedge {\beta }_p.$$

Chapitre IV.- En utilisant la formule de Cauchy-Fantappiè considérée dans un travail récent par J. Leray, on établit une formule très générale qui permet de représenter une fonction holomorphe dans un domaine de $C^n$ par une somme d’intégrales de formes différentielles extérieures sur des contours de différentes dimensions. On montre que cette formule admet comme cas particuliers les formules connues de E. Martinelli et une formule qui généralise celle de A. Weil.

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