Espaces variationnels et mécanique
Annales de l'Institut Fourier, Tome 12 (1962), pp. 1-124.

Ce travail est essentiellement consacré aux systèmes dynamiques Σ non conservatifs, la force généralisée dépendant à la fois des paramètres de position x α et de vitesse y α .

V désignant l’espace-temps de configuration, V l’espace fibré des vecteurs tangents, W celui des directions tangentes à V, on caractérise Σ par son lagrangien homogène L et le tenseur-force S antisymétrique dont le produit contracté par le vecteur vitesse donne le vecteur force généralisé.

Dans la première partie, on étudie l’algèbre H des formes semi-basiques sur V ou W ; on définit en particulier une antidérivation d ˙, endomorphisme de degré 1 de H, intervenant dans le calcul variationnel classique. On introduit ensuite la notion de S-extrémale de L relativement au champ tensoriel semi-basique S et on considère sur V une connexion linéaire de directions se ramenant pour S=0 à la connexion finslérienne définie par L, et dont les géodésiques sont les S-extrémales de L.

Dans la deuxième partie, on montre que le système des équations du mouvement est le système associé de la 2-forme :

Ω = d ( d ˙ L ) + 1 2 S α β d x α ∧ d x β .

On en déduit le théorème généralisant le théorème classique d’E. Cartan : la différence des circulations du vecteur vitesse le long de deux 1-cycles homotopes C 0 et C 1 entourant un même tube de trajectoires T est égale au flux du tenseur-force à travers la 2-chaîne de T de bord C 0 -C 1 .

Les trajectoires de Σ sont les S-extrémales de L (principe d’Hamilton généralisé) ou les géodésiques d’un espace S-finslérien.

Étude des cas où Ω est fermée et où Ω admet un facteur intégrant.

Les systèmes dynamiques à liaisons non holonomes parfaites sont caractérisés par le principe de moindre courbure.

Dans le dernier chapitre, on montre l’intérêt qu’il y a en Relativité Générale d’introduire la notion de tenseur-force.

@article{AIF_1962__12__1_0,
     author = {Klein, Joseph},
     title = {Espaces variationnels et m\'ecanique},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1--124},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {12},
     year = {1962},
     doi = {10.5802/aif.120},
     mrnumber = {35 #6111},
     zbl = {0281.49026},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.120/}
}
TY  - JOUR
AU  - Klein, Joseph
TI  - Espaces variationnels et mécanique
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1962
SP  - 1
EP  - 124
VL  - 12
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.120/
DO  - 10.5802/aif.120
LA  - fr
ID  - AIF_1962__12__1_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Klein, Joseph
%T Espaces variationnels et mécanique
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1962
%P 1-124
%V 12
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.120/
%R 10.5802/aif.120
%G fr
%F AIF_1962__12__1_0
Klein, Joseph. Espaces variationnels et mécanique. Annales de l'Institut Fourier, Tome 12 (1962), pp. 1-124. doi : 10.5802/aif.120. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.120/

[1] P. Appel, Traité de Mécanique Rationnelle, Gauthier-Villars, 1941. | JFM

[1] E. Cartan, Les espaces de Finsler. Act., Hermann, 1934. | JFM | Zbl

[2] E. Cartan, Leçons sur les invariants intégraux, Hermann, 1922. | JFM

[3] E. Cartan, Les systèmes différentiels extérieurs, Hermann, 1945. | Zbl

[1] H. Cartan, Notions d'algèbre différentielle, Colloque de topologie de Bruxelles, 1950, Masson, 1951.

[2] H. Cartan, Variétés différentiables-Groupes de Lie, Cours E.N.S., 1953-1954.

[1] J. Favard, Cours de Géométrie différentielle, Gauthier-Villars, 1957. | MR | Zbl

[2] J. Favard, Espaces de Finsler. Cours de la Faculté des Sciences de Paris, 1955-1956.

[1] F. Gallissot, Les formes extérieures en Mécanique (Thèse), Durand, Chartres, 1954.

[1] J. Klein, C. R., t. 238, pp. 2144-2146, 1954. | Zbl

[2] J. Klein, C. R., t. 240, pp. 2208-2210, 1955. | Zbl

[1] A. Lichnerowicz, Les relations intégrales d'invariance. Bulletin des Sc. math., tome LXX, 1946. | Zbl

[2] A. Lichnerowicz, Les espaces variationnels généralisés, Annales de l'E.N.S., 63, 1946. | Numdam

[3] A. Lichnerowicz, Théories relativistes de la gravitation et de l'électromagnétisme, Masson, 1955. | Zbl

[4] A. Lichnerowicz, Théorie globale des connexions et des groupes d'holonomie, éd. Cremonese, Rome, 1955. | Zbl

[5] A. Lichnerowicz, Géométrie des groupes de transformation, Dunod, 1958. | MR | Zbl

[6] A. Lichnerowicz, Les espaces de Finsler, Cours du Collège de France, 1959-1960.

[1] J. Pérès, Mécanique générale, Masson, 1953. | MR | Zbl

[1] G. Reeb, Sur les espaces de Finsler et les espaces de Cartan, Colloque de Géométrie différentielle, Strasbourg, 1953. | MR | Zbl

[1] J. L. Synge, University Toronto Studies, Appl. Math. série n° 2, 1936. | JFM | Zbl

[1] Y. Thiry, Étude mathématique des équations d'une théorie unitaire à quinze variables de champ (Thèse), Journal math. pures et appl. 9, 30, 1951. | MR | Zbl

[2] Y. Thiry, Remarques sur les équations canoniques de la Mécanique. Scuola Normale Superiore, Pisa, 1959. | Numdam | MR | Zbl

Cité par Sources :