Ce travail est essentiellement consacré aux systèmes dynamiques non conservatifs, la force généralisée dépendant à la fois des paramètres de position et de vitesse .
désignant l’espace-temps de configuration, l’espace fibré des vecteurs tangents, celui des directions tangentes à , on caractérise par son lagrangien homogène et le tenseur-force antisymétrique dont le produit contracté par le vecteur vitesse donne le vecteur force généralisé.
Dans la première partie, on étudie l’algèbre des formes semi-basiques sur ou ; on définit en particulier une antidérivation , endomorphisme de degré 1 de , intervenant dans le calcul variationnel classique. On introduit ensuite la notion de -extrémale de relativement au champ tensoriel semi-basique et on considère sur une connexion linéaire de directions se ramenant pour à la connexion finslérienne définie par , et dont les géodésiques sont les -extrémales de .
Dans la deuxième partie, on montre que le système des équations du mouvement est le système associé de la 2-forme :
On en déduit le théorème généralisant le théorème classique d’E. Cartan : la différence des circulations du vecteur vitesse le long de deux 1-cycles homotopes et entourant un même tube de trajectoires est égale au flux du tenseur-force à travers la 2-chaîne de de bord .
Les trajectoires de sont les -extrémales de (principe d’Hamilton généralisé) ou les géodésiques d’un espace -finslérien.
Étude des cas où est fermée et où admet un facteur intégrant.
Les systèmes dynamiques à liaisons non holonomes parfaites sont caractérisés par le principe de moindre courbure.
Dans le dernier chapitre, on montre l’intérêt qu’il y a en Relativité Générale d’introduire la notion de tenseur-force.
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Klein, Joseph. Espaces variationnels et mécanique. Annales de l'Institut Fourier, Volume 12 (1962), pp. 1-124. doi : 10.5802/aif.120. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.120/
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