Sur la catégorie de Lusternik-Schnirelmann des algèbres de cochaînes

Ndombol, Bitjong

Annales de l'Institut Fourier, Tome 41 (1991) no. 4, pp. 937-987.

Nous introduisons une nouvelle définition d’un invariant bi$M$cat pour une algèbre de cochaînes $A$ connexe et 1-connexe, de type fini sur un corps $\mathbf{k}$ de caractéristique quelconque, et nous montrons d’une part, qu’il coïncide avec l’invariant $𝒜$cat introduit par S. Halperin et J.-M. Lemaire et d’autre part, qu’il est invariant par extension de corps et qu’il vérifie la conjecture de Ganéa.

For a connected and 1-connected cochain algebra of finite type over a field $\mathbf{k}$ with any characteristic, we define a new invariant bi$M$cat and prove that it coincides with the invariant $𝒜$cat introduced by S. Halperin and J.-M. Lemaire; furthermore the unique invariant so obtained satisfies Ganéa’s conjecture and is invariant by field extension.

[1] J. F. Adams and P. Hilton, On the chain algebra of a loop space, Comment. Math. Helv., 20 (1955), 305-330. | Zbl

[2] H. Baues, Algebraic homotopy, Cambridge University Press, 1988. | Zbl

[3] H. Baues and J. M. Lemaire, Minimal models in homotopy theory, Math. Ann., 225 (1977), 219-242. | MR | Zbl

[4] P. Boullay, F. Kieffer, M. Majewsky, M. Stelzer, H. Scheerer, M. Unsold, E. Vogt, Tame homotopy theory via differential forms, preprint n° 223 Freie Universitat Berlin (1986).

[5] J. P. Doerane, Type d'homotopie mod p des espaces de Ganéa, Prépublication n° 116, Institut de Mathématiques Pures et Appliquées, Université Catholique de Louvain (1987).

[6] Y. Félix and S. Halperin, Rational L-S category and its applications, Trans. Amer. Math. Soc., 273 (1982), 1-37. | MR | Zbl

[7] Y. Félix, S. Halperin et J. C. Thomas, L-S catégorie et suite spectrale de Milnor-Moore (“une nuit dans le train”), Bull. Soc. Math. France, 111 (1983), 89-96. | Numdam | MR | Zbl

[8] Y. Félix, S. Halperin et J. C. Thomas, Gorenstein spaces, Adv. in Math., 71 (1988), 92-112. | MR | Zbl

[9] Y. Félix, S. Halperin, J. M. Lemaire and J. C. Thomas, Mod p loop space homology, Invent. Math., 95 (1989), 247-262. | MR | Zbl

[10] R. H. Fox, On the Lusternik-Schnirelmann catagory, Ann. Math., 53 (1979), 333-370. | Zbl

[11] T. Ganea, Lusternik-Schnirelmann category and cocategory, Proc. Lond. Math. Soc., 10 (3) (1960), 639-823. | MR | Zbl

[12] T. Ganea, Lusternik-Schnirelmann category and strong category, Illinois J. Math., 12 (1968), 421-432.

[13] S. Halperin and J. M. Lemaire, Notions of category in differential algebras, Lecture Notes, 1318 (1988), 138-154. | MR | Zbl

[14] S. Halperin, Lectures on minimal models, Mémoires de la S.M.F., (1983). | Numdam | MR | Zbl

[15] S. Halperin, Rational fibrations, minimal models and fibrings of homogeneous spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 244 (1978), 199-223. | MR | Zbl

[16] K. Hess, A proof of Ganéa's conjecture for rational spaces, Ph. D. Thesis M.I.T. Cambridge (1988). | Zbl

[17] E. Idrissi, Quelques contre-exemples pour la catégorie d'une algèbre de cochaînes, Annales de l'Institut Fourier, 41-4 (1991), 989-1003. | Numdam | MR | Zbl

[18] B. Jessup, Rational Lusternik-Schnirelmann category, fibrations and aconjecture of Ganéa, Ph. D. thesis, Univ. of Toronto (1987).

[19] J. M. Lemaire et F. Sigrist, Sur les invariants d'homotopie liés à la L-S catégorie, Comment. Math. Helv., 56 (1981), 103-122. | MR | Zbl

[20] J. M. Lemaire, Algèbres connexes et homologie des espaces de lacets, Lecture Notes, Springer-Verlag, 422 (1974). | MR | Zbl

[21] J. M. Lemaire, Modèles minimaux pour les algèbres de chaînes, Publications de Lyon, 13 (1976), 13-26. | Numdam | MR | Zbl

[22] J. M. Lemaire, Sur le type d'homotopie rationnelle des espaces de Ganéa, Astérisque, 113-114 (1984), 238-247. | Numdam | MR | Zbl

[23] L. Lusternik et L. Schnirelmann, Méthodes topologiques dans les problèmes variationnels, Hermann, Paris, 1934. | JFM | Zbl

[24] D. Sullivan, Infinitesimal computations in topology, Inst. des Hautes Études Sc. Publ. Math., 47 (1978), 269-331. | Numdam | MR | Zbl

[25] D. Tanré, Homotopie rationnelle : modèles de Chen, Quillen, Sullivan, Lecture Notes in Math., Springer-Verlag, 1025 (1983). | MR | Zbl

[26] G. W. Whitehead, Elements of homotopy theory, Graduate Texts in Math., Springer-Verlag, 61 (1978). | MR | Zbl