Résurgence de Voros et périodes des courbes hyperelliptiques
Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 1, pp. 163-199.

Le but de cet article est de formuler de façon géométrique l’idée maîtresse de Voros [dans Ann. Inst. Henri Poincaré, Sect. A 39, 211-238 (1983)] : les solutions de l’équation de Schrödinger stationnaire à une dimension, à potentiel polynomial, sont codées exactement dans le domaine complexe par leurs développements BKW (développements formels, divergents, en puissances de la constante de Planck), d’une façon entièrement lisible dans la géométrie des périodes de la forme pdq (q=variable de position, p = impulsion classique).

The aim of this article is to formulate in a geometrical way the master idea of Voros [in Ann. Inst. Henri Poincaré, Sect. A 39, 211-238 (1983)] : the solutions of the one dimensional stationary Schrödinger equation with a polynomial potential are exactly encoded in the complex domain by their WKB expansions (formal divergent expansions in powers of Planck’s constant) in a way which can be read in the geometry of periods of the differential form pdq (q= position variable, (p=classicial momentum).

@article{AIF_1993__43_1_163_0,
     author = {Dillinger, H. and Delabaere, E. and Pham, Fr\'ed\'eric},
     title = {R\'esurgence de {Voros} et p\'eriodes des courbes hyperelliptiques},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {163--199},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {43},
     number = {1},
     year = {1993},
     doi = {10.5802/aif.1326},
     zbl = {0766.34032},
     mrnumber = {1209700},
     language = {fr},
     url = {https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1326/}
}
TY  - JOUR
AU  - Dillinger, H.
AU  - Delabaere, E.
AU  - Pham, Frédéric
TI  - Résurgence de Voros et périodes des courbes hyperelliptiques
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1993
SP  - 163
EP  - 199
VL  - 43
IS  - 1
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1326/
DO  - 10.5802/aif.1326
LA  - fr
ID  - AIF_1993__43_1_163_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Dillinger, H.
%A Delabaere, E.
%A Pham, Frédéric
%T Résurgence de Voros et périodes des courbes hyperelliptiques
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1993
%P 163-199
%V 43
%N 1
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1326/
%R 10.5802/aif.1326
%G fr
%F AIF_1993__43_1_163_0
Dillinger, H.; Delabaere, E.; Pham, Frédéric. Résurgence de Voros et périodes des courbes hyperelliptiques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 1, pp. 163-199. doi : 10.5802/aif.1326. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1326/

[AVG] V. Arnold, A. Varchenko, S. Goussein-Zade, Singularités des applications différentiables, t.2, Éd. MIR Moscou (traduction française), 1986.

[BB] R. Balian, C. Bloch, Solution of the Schrödinger equation in terms of classical paths, Ann. Phys., 85 (1974), 514-545. | MR | Zbl

[BO] C.M. Bender, St. A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, Mc Graw-Hill Book Inc. Company, 1978. | Zbl

[CNP] B. Candelpergher, C. Nosmas, F. Pham, Approche de la résurgence (Actualités Mathématiques, Hermann, à paraître).

[CNP0] B. Candelpergher, C. Nosmas, F. Pham, Premiers pas en calcul étranger, Ann. Inst. Fourier, 43, 1 (1993). | Numdam | MR | Zbl

[D] R.B. Dingle, Asymptotic Expansions : Their Derivation and Interpretation, Academic Press, London and New-York, 1973. | MR | Zbl

[DDP] E. Delabaere, H. Dillinger, F. Pham, Exact semi-classical expansions for a one dimensional oscillator (en préparation) ; voir aussi E. Delabaere et H. Dillinger, Thèse de Doctorat, Université de Nice-Sophia-Antipolis, 1991.

[DDP0] E. Delabaere, H. Dillinger, F. Pham, Développements semi-classiques exacts des niveaux d'énergie d'un oscillateur à une dimension, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 310, Série I, (1990), 141-146. | MR | Zbl

[E] J. Écalle, Singularités irrégulières et résurgence multiple, dans cinq applications des fonctions résurgentes, preprint 84, t. 62, Orsay.

[E0] J. Écalle, Les fonctions résurgentes, Publ. Math. Université de Paris-Sud, en plusieurs tomes. | Zbl

[Ji] A.O. Jidoumou, Modèles de résurgence paramétrique, Fonctions d'Airy et cylindro-paraboliques, Thèse de Doctorat, 1990, Université de Nice-Sophia-Antipolis, à paraître dans J. Maths Pures Appl. | Zbl

[L] J. Leray, Le calcul différentiel et intégral sur une variété analytique complexe (Problème de Cauchy III), Bull. Soc. Math. France, 87 (1959), 81-180. | Numdam | MR | Zbl

[LL] L. Landau, E. Lifchitz, Mécanique Quantique, Théorie non relativiste, Éd. MIR Moscou, 1966. | Zbl

[P] H. Poincaré, Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Librairie Albert Blanchard, 1987 (en plusieurs tomes).

[V] A. Voros, The return of the quartic oscillator (the complex WKB method). Annales Institut H. Poincaré, 29, 3 (1983). | Numdam | Zbl

Cité par Sources :