Preparation theorems for matrix valued functions

Dencker, Nils

Annales de l'Institut Fourier, Volume 43 (1993) no. 3, pp. 865-892.

We generalize the Malgrange preparation theorem to matrix valued functions $F(t,x)\in C^{\infty }(\mathbf{R}\times {\mathbf{R}}^n)$ satisfying the condition that $t\mapsto \det F(t,0)$ vanishes to finite order at $t=0$. Then we can factor $F(t,x)=C(t,x)P(t,x)$ near (0,0), where $C(t,x)\in C^{\infty }$ is inversible and $P(t,x)$ is polynomial function of $t$ depending $C^{\infty }$ on $x$. The preparation is (essentially) unique, up to functions vanishing to infinite order at $x=0$, if we impose some additional conditions on $P(t,x)$. We also have a generalization of the division theorem, and analytic versions generalizing the Weierstrass preparation and division theorems.

Nous généralisons le théorème de préparation de Malgrange au cas des fonctions $F(t,x)\in C^{\infty }(\mathbf{R}\times {\mathbf{R}}^n)$ à valeurs matricielles. Nous supposons que $t\mapsto \det F(t,0)$ s’annule à un ordre fini en $t=0$. Nous démontrons qu’on peut alors factoriser $F$ sous la forme $F(t,x)=C(t,x)P(t,x)$ au voisinage de (0,0), où $C(t,x)\in C^{\infty }$ est inversible et $P(t,x)$ est un polynôme en $t$, à coefficients qui sont des fonctions $C^{\infty }$ de $x$. Si nous imposons des conditions supplémentaires sur $P(t,x)$, nous montrons que la préparartion est (essentiellement) unique, modulo des fonctions s’annulant à l’ordre infini en $x=0$. Nous donnons aussi une généralisation du théorème de division de Malgrange, et des versions analytiques qui généralisent les théorèmes de préparation et division de Weierstrass.

[1] N. Dencker, The Propagation of Polarization in Double Refraction, J. Funct. Anal., 104 (1992), 414-468. | MR | Zbl

[2] L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I-IV, Springer-Verlag, Berlin, 1983-1985. | Zbl

[3] B. Malgrange, Le théorème de préparation en géométrie différentiable, Séminaire H. Cartan, 15, 1962-1963, Exposés 11, 12, 13, 22. | Numdam | Zbl

[4] B. Malgrange, The preparation theorem for differentiable functions, Differential Analysis, 203-208, Oxford University Press, London, 1964. | MR | Zbl

[5] B. Malgrange, Ideals of differentiable functions, Oxford University Press, London, 1966. | Zbl

[6] J. Mather, Stability of C∞ mappings : I. The division theorem, Ann. of Math., 87 (1968), 89-104. | MR | Zbl

[7] J. Mather, Stability of C∞ mappings, III : Finitely determined map-germs, Publ. Math. I.H.E.S., 35 (1968), 127-156. | Numdam | MR | Zbl

[8] L. Nirenberg, A proof of the Malgrange preparation theorem, Springer Lecture Notes in Math., 192 (1971), 97-105. | MR | Zbl

[9] B. L. Van Der Waerden, Algebra II, 5 Aufl., Springer-Verlag, Berlin, 1967. | MR | Zbl