Au bord de certains polyèdres hyperboliques

Bourdon, Marc

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 1, pp. 119-141.

Le cadre de cet article est celui des groupes et des espaces hyperboliques de M.  Gromov. Il est motivé par la question suivante : comment différencier deux groupes hyperboliques à quasi-isométrie près ? On illustre ce problème en détaillant un exemple de M. Gromov issu de Asymptotic invariants for infinite groups. On décrit une famille infinie de groupes hyperboliques, deux à deux non quasi-isométriques, de bord la courbe de Menger. La méthode consiste à étudier leur structure quasi-conforme au bord, à travers un invariant numérique : la dimension conforme de P. Pansu.

The framework of this article is that of the hyperbolic groups and spaces of M. Gromov. It is motivated by the following question: how to differentiate two hyperbolic groups up to quasi-isometry ? We illustrate this problem by detailing one of Gromov’s examples taken from Asymptotic invariants for infinite groups. We describe an infinite family of hyperbolic groups, two by two non quasi-isometric, for which the boundary is Menger’s curve. The method consists of the study of their quasi-conformal structure on the boundary, using a numeric invariant: P. Pansu’s conformal dimension.

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