Résurgence paramétrique et exponentielle petitesse de l'écart des séparatrices du pendule rapidement forcé

Sauzin, David

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 2, pp. 453-511.

Henri Poincaré avait déjà remarqué que les variétés stable et instable du pendule perturbé, défini par l’hamiltonien

$$H(q,p,t)=p^2/2+(-1+\cos q)(1-\mu \sin (t/\epsilon \left)\right),$$

ne coïncident pas lorsque que le paramètre $\mu$ n’est pas nul, mais qu’on peut leur associer un même développement formel divergent en puissance de $\epsilon$. Cette divergence est ici analysée au moyen de la récente théorie de la résurgence, et du calcul étranger qui permet de trouver un équivalent asymptotique de l’écart des deux variétés pour $\epsilon$ tendant vers zéro - du moins cela est-il montré pour le problème simplifié dans lequel $\sin (t/\epsilon )$ est remplacé par $e^{it/\epsilon }$.

Henri Poincaré had already noticed that the stable and unstable manifolds of the perturbed pendulum defined by the Hamiltonian

$$H(q,p,t)=p^2/2+(-1+\cos q)(1-\mu \sin (t/\epsilon \left)\right),$$

do not coincide when parameter $\mu$ is not equal to zero, and that the same formal divergent series in powers of $ϵ$ may be associated with both of them. Here this divergence is analyzed by means of the recent theory of resurgence and alien calculus which allows to estimate asymptotically the size of the splitting of the manifolds as $ϵ$ tends to zero - at least this is proven for the simplified problem where $\sin (t/\epsilon )$ is replace with $e^{it/\epsilon }$.

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