Singularités non abordables par la géométrie
Annales de l'Institut Fourier, …, Tome 42 (1992) no. 1-2, pp. 73-164.

L’article est consacré aux objets locaux (germes de champs de vecteurs ou difféomorphismes) analytiques en toute dimension et spécialement à l’interaction entre les deux principales difficultés qui viennent compliquer leur étude: petits diviseurs et résonance. On introduit la technique d’arborification, qui permet d’étudier systématiquement l’influence des petits diviseurs diophantiens, puis on rappelle la définition des fonctions et monômes résurgents, indispensables dans tout contexte où intervient la résonance. On montre comment une unique équation, l’équation du pont, permet de construire tous les invariants holomorphes (i.e. tous les invariants analytiques fonction holomorphe de l’objet) et de donner une description très complète de ces objets locaux: normalisations sectorielles, critères d’existence de variétés analytiques invariantes, etc.

This paper is devoted to local analytic objects (i.e. germs of vector fields or diffeomorphisms) in any dimension, with special emphasis on the interplay between the two main difficulties: small denominators and resonance. We introduce an arborification technique, which is well suited for tackling diophantian small denominators and we recall the definition of resurgent functions and monomials, which are essential in any resonant context. We show how a single equation, the so-called Bridge Equation, not only yields all holomorphic invariants (i.e. all analytic invariants depending holomorphically on the object) but also most intrinsic properties of local objects, such as: sectorial normalization, criteria for the existence of invariant analytic varieties, etc.

@article{AIF_1992__42_1-2_73_0,
     author = {\'Ecalle, Jean},
     title = {Singularit\'es non abordables par la g\'eom\'etrie},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {73--164},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {42},
     number = {1-2},
     year = {1992},
     doi = {10.5802/aif.1287},
     mrnumber = {93f:58214},
     zbl = {0940.32013},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1287/}
}
TY  - JOUR
AU  - Écalle, Jean
TI  - Singularités non abordables par la géométrie
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1992
SP  - 73
EP  - 164
VL  - 42
IS  - 1-2
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1287/
DO  - 10.5802/aif.1287
LA  - fr
ID  - AIF_1992__42_1-2_73_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Écalle, Jean
%T Singularités non abordables par la géométrie
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1992
%P 73-164
%V 42
%N 1-2
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1287/
%R 10.5802/aif.1287
%G fr
%F AIF_1992__42_1-2_73_0
Écalle, Jean. Singularités non abordables par la géométrie. Annales de l'Institut Fourier, …, Tome 42 (1992) no. 1-2, pp. 73-164. doi : 10.5802/aif.1287. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1287/

[Br] A.D. Brjuno, Analytic form of differential equations, Trans. Moscow. Math. Soc., Vol. 25 (1971). | Zbl

[Be] A. Beurling, Sur les fonctions limites quasianalytiques de fractions rationnelles, in Collected Works (Vol. 1, pp. 109-120), Boston, 1989.

[E0] J. Ecalle, Théorie des invariants holomorphes, Thèse, Orsay, 1974.

[E1] J. Ecalle, Les fonctions résurgentes, Vol. 1, Algèbres de fonctions résurgentes, Pub. Math. Orsay, (1981). | Zbl

[E2] J. Ecalle, Les fonctions résurgentes, Vol. 2, Les fonctions résurgentes appliquées à l'itération, Pub. Math. Orsay, (1981). | Zbl

[E3] J. Ecalle, Les fonctions résurgentes, Vol. 3, L'équation du pont et la classification analytique des objets locaux, Pub. Math. Orsay, (1985). | Zbl

[E4] J. Ecalle, Classification analytique des champs de vecteurs locaux résonnants de Cv. Actes de la 37ème rencontre entre Mathématiciens et Physiciens (RCP), Strasbourg, Oct. 1983.

[E5] J. Ecalle, Finitude des cycles-limites et accéléro-sommation de l'application de retour (pp. 74-159) in : Bifurcations of Planar Vector fields ; Proc. Luminy 1989, Lect. Notes 1455, Springer. | MR | Zbl

[E6] J. Ecalle, Introduction aux fonctions analysables et application à la preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1991.

[E7] J. Ecalle, Calcul accélératoire et applications (à paraître aux Actualités Math., Ed. Hermann, Paris).

[E8] J. Ecalle, Calcul compensatoire et linéarisation quasianalytique des objets locaux. A paraître aux Proc. of the Coll. on complex Anal. Methods in Dyn. Syst., IMPA, Rio de Janeiro, Jan. 1992.

[E10] J. Ecalle, The acceleration operators and their applications, Proc. of the 1990 I.C.M., (Kyoto), Springer Verlag. | Zbl

[E11] J. Ecalle, Cohesive functions and weak accelerations. A paraître au Journal d'Analyse Math., Szolem Mandelbrojt Memorial Volume, 1992. | Zbl

[MR1] J. Martinet et J.-P. Ramis, Problèmes de modules pour des équations différentielles non-linéaires du premier ordre, Pub. Math. IHES, 55 (1982), 63-16. | Numdam | MR | Zbl

[MR2] J. Martinet et J.-P. Ramis, Classification analytique des équations différentielles non-linéaires résonnantes du premier ordre, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup., 4ème série, t.16 (1983), 571-625. | Numdam | MR | Zbl

[MR3] J. Martinet et J.-P. Ramis, Elementary acceleration and multisummability, Paris, 1990. | Numdam | Zbl

[Ma] J. Martinet, Normalisation des champs de vecteurs holomorphes, d'après A.D. Brjuno, Séminaire Bourbaki, 1980-1981, n° 564-01. | Numdam | Zbl

[Rü1] H. Rüssmann, Über die Iteration analytischer Funktionen, J. Math. Mech., 17, 523-532. | Zbl

[Rü2] H. Rüssmann, On the convergence of power series transformations of analytic mappings near a fixed point into a normal form, Preprint IHES, Paris, 1977.

Cité par Sources :