On gradients of functions definable in o-minimal structures

Kurdyka, Krzysztof

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 769-783.

S.Łojasiewicz a démontré que si $f$ est une fonction analytique au voisinage de $a$, avec $f\left(a\right)=0$, alors $\parallel \mathrm{grad}f\parallel \ge |f{|}^{\alpha }$, avec $\alpha <1$. Nous démontrons la généralisation de cette inégalité valable dans toute structure o-minimale. Nous en déduisons (comme dans le cas analytique) que toutes les trajectoires du gradient d’une fonction définissable dans une structure o-minimale ont des longueurs uniformément bornées. Ceci permet de démontrer que le flot du gradient définit une rétraction sur une ligne de niveau.

We prove the o-minimal generalization of the Łojasiewicz inequality $\parallel \mathrm{grad}f\parallel \ge |f{|}^{\alpha }$, with $\alpha <1$, in a neighborhood of $a$, where $f$ is real analytic at $a$ and $f\left(a\right)=0$. We deduce, as in the analytic case, that trajectories of the gradient of a function definable in an o-minimal structure are of uniformly bounded length. We obtain also that the gradient flow gives a retraction onto levels of such functions.

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