Hyperelliptic action integral

Elsner, Bernhard

Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 1, pp. 303-331.

Utilisant la méthode “BKW exacte” (cf. Delabaere-Dillinger-Pham) pour l’équation de Schrödinger stationnaire à une dimension avec potentiel polynomial, on est amené à considérer une fonction d’action complexe multivaluée. C’est une intégrale (hyper)elliptique ; la structure de sa surface de Riemann au-dessus du plan de ses valeurs révèle des propriétés intéressantes : la projection de ses points de ramification est en général une partie dense du plan, et il y a un groupe de symétries qui opère sur la surface. La distribution des points de ramification est importante, car elle donne la position des obstacles à la sommation de Borel-Laplace des symboles BKW. Dans l’ouvrage “Approche de la résurgence” de B. Candelpergher, J.-C. Nosmas et F. Pham, p. 103-105, un essai a été fait pour construire explicitement la surface à l’aide de papier, colle et ciseaux ; ici on donne la construction correcte et, en plus, on prouve que toute surface ainsi construite provient d’un potentiel polynomial. Au passage, nous sommes amenés à formuler une conjecture élémentaire en théorie des fonctions holomorphes.

Applying the “exact WKB method” (cf. Delabaere-Dillinger-Pham) to the stationary one-dimensional Schrödinger equation with polynomial potential, one is led to a multivalued complex action-integral function. This function is a (hyper)elliptic integral; the sheet structure of its Riemann surface above the plane of its values has interesting properties: the projection of its branch-points is in general a dense subset of the plane, and there is a group of symmetries acting on the surface. The distribution of the branch points on the surface is of crucial importance, because it gives the position for the obstacles to Borel-Laplace summation of the WKB-symbols. In “Approche de la résurgence” by B. Candelpergher, J.-C. Nosmas et F. Pham, p. 103-105, an attempt has been made towards giving an explicit construction of the surface with paper, scissors and glue; here we give the correct construction and in addition we prove that each surface constructed in this way comes from a polynomial potential. Along the way we are lead to an elementary conjecture in the theory of holomorphic functions.

[1] B. Candelpergher, J.C. Nosmas, F. Pham, Approche de la résurgence, Actualités Mathématiques, Hermann, 1993. | MR | Zbl

[2] E. Delabaere, H. Dillinger, F. Pham, Résurgence de Voros et périodes des courbes hyperelliptiques, Ann. Inst. Fourier, 43-1 (1993), 163-199. | Numdam | MR | Zbl

[3] M.V. Fedoryuk, Asymptotic Analysis, Springer, 1993.

[4] S. Kobayashi, Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings, Pure and Applied Mathematics Monographs, Marcel Dekker, 1970. | MR | Zbl

[5] W. Magnus, A. Karrass, D. Solitar, Combinatorial Group Theory, Interscience Publishers, 1966.

[6] D. Mumford, Tata Lectures on Theta II, Birkhäuser, 1984.

[7] A.N. Varchenko, Image of period mapping for simple singularities, Lecture Notes in Mathematics 1334, Springer, 1988. | MR | Zbl

[8] A. Voros, Résurgence quantique, Ann. Inst. Fourier, 43-5 (1993), 1509-1534. | Numdam | MR | Zbl

[9] W. Wasow, Linear Turning Point Theory, Applied Mathematical Sciences 54, Springer, 1985. | MR | Zbl