Prime to $p$ fundamental groups and tame Galois actions

Kisin, Mark

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 4, pp. 1099-1126.

Soit $F$ un corps ayant une valuation complète et discrète, et de caractéristique résiduelle $p$. Si $𝒰$ est une variété sur $F$, notons ${\pi }_{1,\mathrm{geom}}^{\left(p^{\prime }\right)}\left(𝒰\right)$ le quotient maximal du groupe étale fondamental de $𝒰$ qui est premier à $p$. Nous considérons l’application $\rho :\mathrm{Gal}(F^{\mathrm{sep}}/F)\to \mathrm{Out}\left({\pi }_{1,\mathrm{geom}}^{\left(p^{\prime }\right)}\right(𝒰\left)\right)$ au groupe des automorphismes extérieurs, et nous montrons qu’elle applique le groupe de ramification sauvage sur un groupe fini. Nous montrons que sous certaines conditions $\rho$ dépend seulement de la réduction de $𝒰$ modulo une puissance de l’idéal maximal de $F$. Les preuves utilisent la théorie des schémas logarithmiques.

We show that for a local, discretely valued field $F$, with residue characteristic $p$, and a variety $𝒰$ over $F$, the map $\rho :\mathrm{Gal}(F^{\mathrm{sep}}/F)\to \mathrm{Out}\left({\pi }_{1,\mathrm{geom}}^{\left(p^{\prime }\right)}\right(𝒰\left)\right)$ to the outer automorphisms of the prime to $p$ geometric étale fundamental group of $𝒰$ maps the wild inertia onto a finite image. We show that under favourable conditions $\rho$ depends only on the reduction of $𝒰$ modulo a power of the maximal ideal of $F$. The proofs make use of the theory of logarithmic schemes.

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