$p$-adic Abelian Stark conjectures at $s=1$

Solomon, David

doi:10.5802/aif.1891

p

-adic Abelian Stark conjectures at

s = 1

[Conjectures de Stark

p

-adiques abéliennes en

s = 1

]

Solomon, David ¹

¹ King's College London, Department of Mathematics, Strand, London WC2R 2LS (Royaume-Uni)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 2, pp. 379-417.

Résumé
Abstract

Une version $p$ -adique de la conjecture de Stark en $s = 1$ est attribuée à J.-P. Serre et énoncée (de manière fautive) dans le livre de Tate sur cette conjecture. Dans le cas d’un corps de rayon réel sur un corps de nombres totalement réel, on présente ici une nouvelle conjecture de ce type, suivant plutôt la démarche de notre article précédent (et le travail de Rubin) sur la conjecture complexe abélienne. On étudie la cohérence de cette conjecture et on énonce des raffinements ‘sur $ℤ$ ’, soit d’elle seule, soit en combinaison avec son analogue complexe. Enfin, la version ‘Weak Refined Combined’ fait l’objet d’une discussion plus détaillée et d’une démonstration dans deux cas particuliers.

A $p$ -adic version of Stark’s Conjecture at $s = 1$ is attributed to J.-P. Serre and stated (faultily) in Tate’s book on the Conjecture. Building instead on our previous paper (and work of Rubin) on the complex abelian case, we give a new approach to such a conjecture for real ray-class extensions of totally real number fields. We study the coherence of our $p$ -adic conjecture and then formulate some integral refinements, both alone and in combination with its complex analogue. A ‘Weak Combined Refined’ version is discussed in more detail and proved in two special cases.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1891

Classification : 11R42, 11S40, 11R20, 11R27
Keywords: Stark conjecture, $p$-adic, L-function, zeta-function, abelian extension, unit, $S$-unit, regular, special value, totally real field
Mot clés : conjecture de Stark, $p$-adique, fonction L, fonction zêta, extension abélienne, unité, $S$-unité, régulateur, valeur spéciale, corps totalement réel

Affiliations des auteurs :

Solomon, David ¹

¹ King's College London, Department of Mathematics, Strand, London WC2R 2LS (Royaume-Uni)

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Solomon, David. $p$-adic Abelian Stark conjectures at $s=1$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 2, pp. 379-417. doi : 10.5802/aif.1891. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1891/

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