Let us consider Laumon-Rapoport-Stuhler modular varieties for “- elliptic sheaves”, which are defined over a function field in one variable over a finite field, for a division algebra of dimension over . We show that these varieties admit, at a place of where is a skew field of invariant , a rigid-analytic uniformization by Drinfeld’s space , or by the coverings of (depending on the level structure). This result is the analogue of Čerednik’s theorem, which is well known in the number field case. As an application, we prove a conjecture of Carayol’s : the inductive limit over of the -adic cohomology groups with support, in median degree, of the coverings - on wich the product GL acts - yields a geometrical simultaneous realization of the local Langlands and Jacquet-Langlands correspondences. Our proof is of “global” nature : using the uniformization theorem, we compare the local representation to the global cohomology of the moduli variety .
Considérons les variétés de “-faisceaux elliptiques” introduites par Laumon, Rapoport et Stuhler, définies sur un corps de fonctions d’une variable sur un corps fini, où est une algèbre de division de dimension sur . Nous montrons que ces variétés admettent, en une place de où est un corps gauche d’invariant , une uniformisation rigide-analytique par l’espace de Drinfeld , ou par les revêtements de (selon la structure de niveau). Ce résultat constitue l’analogue du théorème de Čerednik bien connu dans le cas des corps de nombres. Comme application, nous démontrons une conjecture de Carayol : la limite inductive , suivant , des groupes de cohomologie -adique avec support, en degré médian, des revêtements - sur laquelle agit le produit GL - constitue une réalisation géométrique simultanée des correspondances locales de Langlands et de Jacquet-Langlands (du moins pour les cuspidales). Notre preuve est de nature “globale” : via le théorème d’uniformisation, on compare la représentation locale à la cohomologie globale de la variété modulaire .
Mot clés : uniformisation rigide-analytique, variétés modulaires de Drinfeld, correspondance de Langlands locale
Keywords: Rigid-analytic uniformization, Drinfeld modular varieties, local Langlands correspondence
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Hausberger, Thomas. Uniformisation des variétés de Laumon-Rapoport-Stuhler et conjecture de Drinfeld-Carayol. Annales de l'Institut Fourier, Volume 55 (2005) no. 4, pp. 1285-1371. doi : 10.5802/aif.2126. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2126/
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